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教材原题（人教A版高中数学教材选修2-1第109页例4）如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD等于DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小.
难度系数0.65
思路分析要想证明PA∥平面EDB,可以取BD的中点为O,连接EO,证明PA∥EO即可；要想证明PB⊥平面EFD,可以证明PB垂直于平面EFD内的两条相交直线；要想求二面角C-PB-D的大小,可知∠DFE即为所求角的平面角.
方法1（1）证明：连接AC交BD于点O,连接EO.∵PE等于CE,AO等于CO,∴PA∥EO.∴PA∥平面EDB.
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.又BC⊥DC,∴BC⊥平面PCD,即BC⊥DE.∵PD等于DC,PE等于 CE,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面PBC,则有DE⊥PB.∵PB⊥EF,∴PB⊥平面EFD.
故二面角C-PB-D的大小为60°.
思路分析要想证明线面平行,可以证明面面平行,作一个辅助面PKH平行于平面EDB；要想证明线面垂直,可以利用三垂线定理进行证明；二面角一般是按作、指、证、求的步骤求解,可以过点C向平面PBD作垂线,再过垂足向棱PB作垂线交PB于一点M,连接CM,可得所求角的平面角.
方法2（1）证明：如图2所示,延长CB到点H,使BC等于BH；延长CD到点K,使CD等于DK.连接HK且过点A.∵PE等于CE,∴EB∥PH,ED∥PK.∴平面EDB∥平面PKH.∴PA∥平面EDB.
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD,∴平面PCD⊥平面ABCD.∴BC⊥平面PCD.∴平面PCD⊥平面PBC.
∵DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC.∵EF⊥PB,∴DF⊥PB.又EF∩DF等于F,∴PB⊥平面EFD.
思路分析建立适当的坐标系,利用空间向量证明直线与平面平行或垂直,求二面角的大小可建立空间直角坐标系,设点D为坐标原点,且DC等于1.
思路分析利用平面的法向量进行证明.要想证明PA∥平面EDB,可以证明PA与平面EDB的法向量垂直；要想证明PB⊥平面EFD,可以证明PB与平面EFD的法向量平行；要想求二面角C-PB-D的大小,可以求平面PBC与平面PBD的法向量所成的角.
方法4建立空间直角坐标系,设点D为坐标原点,且DC等于1.
规律总结证明线面平行的方法一般有三种：①证明线与线平行,常用技巧是取边的中点,利用中位线证明；②先证明面面平行,然后证明线面平行；③利用向量法可以证明线与面的法向量垂直.证明线面垂直,可以证明直线垂直于平面内的两条交线,也可以证明直线与平面的法向量平行.
求二面角常用的方法有：①定义法；②垂面法,如方法1；③利用三垂线法,如方法2.
郭统福,中学高级教师,先后在《高中生》等刊物上发表文章200多篇,主编或参编20多部教辅书.阅读他的其他文章,请点击《高中生》高考网.
（责任编校周峰）