本站原创本文关于学生及向量及条件方面的免费优秀学术论文范文，学生相关论文范文集,与一题多解发散思维提升能力相关专升本毕业论文范文，对不知道怎么写学生论文范文课题研究的大学硕士、本科毕业论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料下载。
数学教学中,教师结合教学内容,通过习题的精选与讲练,可以使学生形成和发展数学应用意识,提高数学思维能力.有意识的加强一题多解,多题一法训练,让学生多角度、多方位、多层次思考问题,开阔学生的视野,优化学生的思维品质,为学生夯实基础,提升能力,激发学生数学学习兴趣构建平台.
[例题]已知a,b,e为实数,满足条件a+b+e等于2,a2+b2+e2等于4,试求实数e的取值范围.
解析一:(方程“△”法) a+b+e等于2 ①a2+b2+e2等于4 ②三个量,两个等式.由减元思想,则可由①得 a等于2-b-e ③,③代入②,整理化简得b2+(e-2)b+e2-2e等于0,∵关于b的一元二次方程有解 ∴-≤e≤2.
也可整理条件得: a+b等于2-eab等于e2-2e
则a、b为方程x2-(2-e)x+(e2-2e)的两根,从而△≥0(下略).
解析二:(不等式法)由条件有a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
注意到“和a+b”与“平方和 a2+b2”的不等关系:2(a2+b2)≥(a+b)2,则8-2e2≥(2-e)2,3e2-4e-4≤0(下略).
解析三:(三角换元法) a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
注意到②式的“平方和”结构形式,则可设a等于cosθ,b等于sinθ
由①有cosθ+sinθ等于2-e
sin(θ+)等于2-e,sin(θ+)等于
∵|sin(θ+)|≤1 ∴||≤1
3e2-4e-4≤0(下略).
解析四:(数形结合法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
由①联想到斜率为-1,在纵轴上截距为2-e的直线,由②联想到圆心在原点,半径为的圆.如图所示.
∵直线与圆有公共点
∴ 圆心到直线的距离d≤,即≤,化简得 3e2-4e-4≤0(下略).
解析五:(构造方差法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
由①“a,b的和”的结构,易表达a,b的平均数
由②“a,b的平方和”的结构,联想到方差
s2等于[(a-)2+〔b-〕2]
等于[a2+b2-(2-e)(a+b)+2()2]
等于[4-e2-(2-e)2+]等于[4-e2-]≥0
化简得3e2-4e-4≤0(下略).
解析六:(构造函数法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
注意条件①②,联想到函数f(x)等于(x+a)2+(x+b)2的系数特征,则可令f(x)等于(x+a)2+(x+b)2.
f(x)等于(x+a)2+(x+b)2等于2x2+2(a+b)x+a2+b2
等于2x2+2(2-e)x+4-e2
∵f(x)≥0 ∴△≤0 即4(2-e)2-4×2(4-e2)≤0
化简得3e2-4e-4≤0(下略).
解析七:(构造等差数列法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
由①知a,1-,b成等差数列
可设a等于(1-)-d,b等于(1-)+d,其中d为公差
代入②:[(1-)-d]2+[(1-)+d]2等于4-e2
整理得3e2-4e-4等于4d2≤0(下略).
解析八:(构造向量法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
注意条件①②,联想到向量的坐标和向量的模
可设等于(a,b),(1,1)则·等于a+b等于2-e
||等于,||等于
∵|·|≤||·|| ∴|2-e|≤·
化简得3e2-4e-4≤0(下略).
解析九:(参数法)a+b等于2-e ①a2+b2等于4-e2 ②
由①联想到直线过点(2,-e),斜率为-1,且倾斜角为
则可设a等于2-t b等于-e+t
代入②整理得t2-(2+e)t+2e2等于0
∵关于t的一元二次方程有解
∴△≥0 即2(2+e)2-8e2≥0
化简得3e2-4e-4≤0(下略).
可见,上述多种解法,不仅使学生掌握常用方法,而且帮助学生复习了有关知识.在这些解法中,汇聚了大量信息,知识覆盖面广,既收到“精讲一题,带动一片”的效果,又活跃了学生思维,提高了学生的能力.这正符合新课标基本理念.