注重题后反思提高解题能力

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摘 要：反思是数学思维活动的核心和动力.许多学生往往由于审题时不认真,解题时粗心大意,把考试中会做的题做错了,造成严重的失分现象.针对这一现象,教师应要求学生养成解题后的反思习惯.教师可引导学生反思题目中的知识、技能,反思解题的思维过程,反思解法途径,反思解题规律以及数学思想方法的渗透,从而提升解题能力.

关 键 词 ：反思意识；解题能力；数学思想

一、问题的提出

每次考试结束之后,我们常常问学生：考得怎么样?学生回答：不错.当试卷发下来一看,结果却出乎意料,一些完全可以做对的考题解错了,造成严重的失分现象.这些学生造成解题错误的原因,不在于他们知识点不懂,而是由于审题时不认真,解题时想当然,对已知条件的内涵没有充分利用,对隐蔽条件没有深入挖掘,对推理过程没有认真分析推敲,对题目中所用的数学思想方法没有理解.针对这一现象,笔者认为学生缺乏解题后的反思意识,即完成一道题后,要再问几个为什么,要知其所以然,分析题目中所应用的知识点以及解题方法,并从中获得下次解题有用的经验和教训,这样才能达到触类旁通的效果.那么,如何培养学生解题后的反思意识呢?题后反思的意义又是什么呢?

二、反思的意义

荷兰著名数学教育家赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”更通俗地说,“反思”是指在解决了数学问题之后,进行总结.从更深的层面上,是对问题条件的利用,解题方法的分析,解题过程的检查,解题结果的验证和题型变化等等.因此,解题后的反思,不但不会浪费学生的时间,相反,对完善学生的知识体系、提高学生的数学素质、培养学生观察应变的逻辑思维能力和培养学生的情感、态度与价值观等都起到事半功倍的作用.

三、如何培养学生解题后的反思意识

1.引导学生反思对题意的理解是否到位

就学生解题学习活动而言,“理解题意”无疑是非常重要的.某些数学问题的题意的内涵很丰富,需要通过仔细分析才能领悟,如果只考虑表面现象,常常会使题意的内涵缩小,导致所给问题的解出现漏解.

【案例1】求过点P（0,1）且与抛物线y2等于2x有且只有一个公共点的直线方程.

学生认为这是一道简单题目,因为他们知道,直线与曲线有公共点的问题等价于由直线与曲线联立的方程组有实数解的问题.因此,众多的学生都容易给出如下的解法.

设过P（0,1）的直线方程为y等于kx+1,y等于kx+1

y2等于2x,由消去y,化简整理得kx2+（2k-2）x+1等于0,由Δ等于（2k-2）2-4k2等于0得k等于.故所求直线方程为y等于x+1.

上述解答从推理过程看,步步有依据,不存在什么问题.但是,通过仔细分析可以发现,解答是错误的,错误的原因引导学生作如下反思：

（1）过P（0,1）的直线方程一定能表示为y等于kx+1吗?若斜率不存在,符合题意吗?

可设直线方程为y等于1,解y等于1

y2等于2x,得x等于,y等于1.即y等于1也符合题意.

（2）若斜率存在,设y等于kx+1,由消去y,化简整理得k2x2+2kx+2x+1等于0,解得k等于,即直线y等于x+1符合题意.

学生通过反思容易发现,对“过点P（0,1）且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程”这个题意的理解：原来斜率不存在以及存在都符合题意.由此得出所求直线方程为y等于1或y等于x+1.

反思：如果平时教师能用一些题意不易充分领悟的典型例子,以学生的错解作为反面教材,引导学生进行反思,可以有效地培养学生认真审题、充分领悟题意的好习惯,从而提升学生的解题能力.

2.引导学生反思隐蔽条件是否发现

某些数学问题,它的条件由两部分构成,一部分是明显的,另一部分是隐蔽的.明显的条件容易利用,隐蔽的条件不易发现.如果学生在解题的过程中没有反复推敲、仔细分析,那么这类数学问题就很容易导致错解现象的发生.

【案例2】求函数y等于的定义域.

学生开始解：依题意得log0.5（4x2-3x）≥0,所以4x2-3x≤1,解得-≤x≤1,即函数的定义域为[-,1].

仔细一想,发现结论是错的,忽视了对数函数中“真数大于零”这一条件,没有限制4x2-3x>0,从而导致错误的结果.所以函数y等于的定义域应满足0<4x2-3x≤1,由于4x2-3x>0解得x<0或x>,所以0<4x2-3x≤1的解集为-≤x<0或

反思：上述例子体现学生解题时没有充分考虑“复合函数的定义域”这个隐蔽条件,误认为函数y等于的定义域只要满足4x2-3x≤1,从而导致错误.如果平时能利用一些存在隐蔽条件的典型例子,让学生从错解中反思.可以有效地培养学生分析和寻找隐蔽条件的能力,从而提升学生的解题能力.

3.引导学生反思解题方法是否优化

解题过程是解题思想指导下的演绎过程,它直接受到解题思路的影响.但本身也存在着不断反思和不断优化的问题,这是因为解题需要认真分析条件,寻找解题方法,达到解题目的.

所以解题后必须反思所用的方法是否正确?是否一题多解?若错,则应加以改正；若一题多解,则选择最佳方法.同时,还必须反思解题的过程是否能化繁为简?能否简化运算?是否能用等价命题来求解?

【案例3】条件p：x2≠1；条件q：x≠1,则（ ）

A.p是q的充分非必要条件；

B.p是q的必要非充分条件

C.p是q的充要条件；

D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

在对学生成绩统计分析时发现该题的错误率很高,做错的学生多数选D.这一结果确实出乎意料.该题若直接从原题正面来判断是有一定的难度,但反思一下,会较快判断出答案.我们在学习不等式时强调：在现实生活中,等是相对的、局部的,不等是绝对的、广泛的,等与不等是相辅相成的,数学中的不等的解集正是以方程的解为分界点,也就是说以等来解决不等的,几乎所有不等问题都要借助于等来解决.若将该问题转化为等式问题,则极易求得正确答案. 记p是原命题条件,q为原命题结论,原命题是若p则q,则逆否命题是若q则p,显然,逆否命题成立.由原命题与逆否命题是等价命题,得原命题成立,即pq.同理可得q[] p,故应选A.

反思：新的课程标准要求关注“过程和方法”,使学生形成解决问题的基本策略,体验解题过程的多样性,培养分析问题和解决问题的能力.需要反思的是直接法为什么不易解对?能否想到“正难则反”?通过分析发现需要用等价条件来解即用它的逆否命题来解问题变得简单易懂,从而提升学生的解题能力.

4.引导学生反思解题能否渗透数学思想方法

布鲁纳认为：“掌握数学思想和方法可使得数学更容易理解和更容易记忆,更重要的是领会基本思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’”.因此,挖掘数学活动中涉及的数学思想方法显得很重要.在解题过程中,教师应有目的、有计划地引导学生体会、提炼其中隐含的数学思想、方法,使学生在接受知识的同时,受到数学思想方法的熏陶和启迪,同时还要反思这些思想方法是如何应用的,这样,才能提升学生的解题能力.

【案例4】已知方程2sin2x-cosx-a等于0有实根,求参数a的取值范围.

大多数学生易得：令t等于cosx,原方程可化为2t2+t+a-2等于0.注意到,问题可转化为方程2t2+t+a-2等于0在[-1,1]内至少有一实根,求参数a的取值范围.

解法1：由a等于-2t2-t+2,得t等于,-1≤t≤1,解得-1≤a≤.

以上解法的关键是将三角方程转化成代数方程.此时,教师启发学生：“这道题有没有其他解法?”“能否将原题转化为其他数学语言求解?”经过一番讨论,学生达成共识,可转化为函数语言或图形语言求解.

解法2：原题转化为“求函数y等于-2t2-t+2的值域.”易知,当-1≤t≤1时,-1≤y≤.即a的取值范围为-1≤a≤.

解法3：原题转化为“求参数a的取值范围,使y等于a与抛物线y等于-2t2-t+2（t∈[-1,1]）相交”.利用数形结合法,易知a的取值范围为-1≤a≤.

教师引导学生反思：解法2、解法3与解法1相比更为简捷、漂亮,其原因是分别巧妙地用到函数的思想、数形结合思想.

反思：由于渗透了数学思想方法的提炼,引起了学生对数学思想、方法的重视和兴趣,体会到数学思想方法的价值.在解决问题的过程中,进一步理解了数学思想方法的特征、适用的条件,提高了学生的数学思维品质,提高了学生应用数学思想方法解决问题的自觉性和积极性,同时也提升了解题能力.

总之,反思是学生学习数学最薄弱的环节,教师长期只注重解题前的探索,从而影响了学生养成解题后反思的习惯.学生为了应付大量的作业、频繁的考试,无法进行研究题目的特征以及所隐含的数学思想、方法,能否进行解题后的反思是区分主动学习还是被动学习,是思维深刻还是思维肤浅的重要标志.要提高学生学习数学的反思能力,必须改变学生的学习动机,让学生能自觉学习,通过各种手段让学生针对自己的学习过程与结果不断地进行分析与总结,并写出解题的思路、隐含的条件、易错的原因,形成错题记录本.这样,让学生平时或考试前进行翻阅,能记住自己所犯的错误,达到前车之鉴的目的.所以,教师要重视学生反思,鼓励学生反思,并巧妙地处理反思,使学生乐思、巧思、善思,让学生把反思学习养成一种习惯,使之成为人生发展的一种基本技能,使学生真正喜欢数学.