数学客观题的转化

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客观题（选择、填空题）是数学试卷中分值最重的一类,它又在全卷的开头部分,因此,解客观题的快慢和成功率的高低对于考生考试能否进入最佳状态,以至于对整个考试的成败起着举足轻重的作用,客观题具有知识覆盖面全、题型多变、不用写解题过程、没有固定模式、不设中间分、难度比其他类型题目相对低一些的特点,因此选择题可根据题干和备选答案两方面提供的信息,利用多种方法做出正确的选择,而填空题则可充分利用数学中的转化思想进行解答.一般要求以迅速和准确为原则,而转化思想就是解决数学问题的重要思想方法之一.著名数学家G·波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断变化你的问题等直到最后成功的找到有用的东西为止.”其中的“变化”就是数学中重点考查的思想方法：转化的思想.转化的思想就是将复杂的或陌生的、新型的数学问题、数学信息转化为简单的或已知的数学问题或熟悉的经验方法,从而解决问题的策略,下面以近几年的高考题为例分析客观题转化的几种基本方法.

(一)正难则反的转化

当一个数学题从正面分析较难时,不妨从反面思考.

例1.（2011浙江文8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有一个白球的概率是（ ）

解：从5个球中任取3个球的所有情况有10种,至少有一个白球的反面是一个白球都没有,而一个白球都没有的情况只有一种,所以一个白球都没有的概率是,则至少有一个白球的概率为P等于1--.此题也可从正面入手,但若数字较大时,从反面入手可以提高准确率和解题速度.

如同型：（2007陕西理） 安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有__________.

分析：题设条件是3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,目标是求不同分配方案的种类个数,由“每校至多2人,共有3名教师”可想到将教师分成两组（2、1）或分成3组（1、1、1）,然后再分配到6所学校.

解法一：直接从正面解题

根据题意：分配方案有两种

（1）3名教师分到3所学校每校1人,这相当于从6所学校中取3所学校作为接收单位,取法有A36种：

（2）3名教师分到2所学校,有1所学校2人.从3名教师中任取2人有C32种取法,再把这两组人安排到两所学校有A26种排法,最后得C32A26种分配方法：由加法原理得不同的分配方案共有A36+C23+A26等于210种

解法二：正难则反

先计算不符合题意的分配方案,再用总的分配方案与之做差.3名教师到6所学校支教共有63种分配方法,而3名教师都到同一所学校支教有6种方法不符合题意,从而求得不同的分配方案有63-6等于210种.

很显然解法二计算最小且易理解.

(二) 数形转化

华罗庚先生说过：数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.恰到好处的使用图形可以起到事半功倍的功效.

例2.（2012课标全国文11）当0

A.（0,） B.（,1） C.（1,）D.（,2）

如图1：由图可知要使4x

0同型：不等式|a-2x|>x-1,对x∈[0,2]恒成立,求a的取值范围.

分析：若直接求解需严格按照零点分段法解绝对值不等式,也可以转化为研究图像更容易理解.

解：设f（x）等于|a-2x|,g（x）等于x-1.在同一坐标系中做出它们的图像,如图2

f（x）等于|a-2x|的对称轴为x等于.

①当<1,即a<2,f（x）>g（x）恒成立；

②当1≤≤2,即2≤a≤4,f（x）>g（x）在x∈[0,2]上不恒成立；

③当>2,即a>4时,因为f（x）min等于f（2）,所以要使f（x）>g（x）在x∈[0,2]上恒成立,则有f（2）>g（1）即a-2×2>2-1,即a>5

综上：a∈（-∞,2）∪（5,+∞）.

(三)一般性与特殊性转化

当已知条件中含有某些不确定的量,但答案的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一定值或确定的性质时,可将题化的不定量选取一些符合条件的恰当的特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大简化推理、论证的过程.用特殊化方法解客观题是特别有效的,这是因为一个命题在普遍意义上成立时（这意味着这个命题的条件充分）,在其特殊情况下也必然成立.根据这一点,我们可以直接确定客观题中的正确选项.

例3.（2011上海 理17）设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点,则使++++等于0成立的点M的个数为（〓 ）

A.0 B.1 C.5 D.6

解：不妨假定A1,A2,A3,A4,A5共线,由++++等于,易知点M也在该直线上,建立该直线所在的数轴,设点Ai的坐标为Ai,点M的坐标为M,利用坐标运算公式得A1+A2+A3+A4+A5-5M等于0,解得点M的坐标为M等于（A1+A2+A3+A4+A5）,显然它是唯一确定的.同型：设函数y等于f（x）的定义域为R,则函数y等于f（x-1）与y等于f（1-x）的图像关于（〓 ）对称.

A.直线y等于0〓B.直线x等于0 C.直线y等于1〓D.直线x等于1

解：因为只要函数的定义域为R即可以得出结论,所以可以列举一个特殊函数如：y等于2x,则f（x-1）等于2x-1,f（1-x）等于21-x,观察图像如图3,即得y等于f（x-1）与y等于f（1-x）关于x等于1对称.

同型：若数列{an}满足-等于d（n∈N*,d为常数）,则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+等+x20等于200,则x5+x16等于__________.

分析：对于{an}满足-等于d（n∈N*,d为常数）,则称数列{an}为调和数列,可知常数列也是调和数列,因此可令xn等于C求解.

解：因为{an}满足-等于d（n∈N*,d为常数）,则称数列{an}为调和数列,所以可令xn等于C,即等于.由x1+x2+等+x20等于200,得xn等于10,于是x5+x16等于20.

对于表面上难以解决的问题,需要我们换个角度考虑,研究特殊现象,再运用分析归纳、转化、演绎等手法去概括一般规律,使问题获解.