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摘 要：针对计算方法课程的教学现状,阐述了该课程教学中存在的主要问题,从该课程的教学思想、方法、实验教学等方面,提出了对其进行教学改革的思路和建议.
关 键 词 ：计算方法；教学改革；工程计算
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2013）10-0059-02
随着科学技术的进步特别是计算机技术的飞速发展, 科学计算已成为继理论分析、实验研究之后的第三种科学研究手段, 而科学计算的核心是计算方法.计算方法作为数学理论与工程应用之间的一个“桥梁”,在很多学科领域发挥着越来越重要的作用,已成为很多理工科专业大学生必修或选修的基础课程.计算方法课程研究借助计算机解决数学问题的方法和理论,与其他传统的数学课程相比,它更强调计算机技术的应用,更注重算法思想及与工程实际的结合,从这个角度而言,它的教学应当与应用密切联系.
针对本科学生的计算方法课程,又名数值分析或数值计算方法, 其主要内容包括非线性方程求根、插值与拟合、数值微分与数值积分、常微分方程数值解和线性方程组的求解等.计算方法课程的选修课程是高等数学和线性代数等,同时该课程还要求学生至少掌握一门编程语言,例如C语言或Matlab等.
计算方法课程具有以下特点：（1）注重方法性和实
用性.计算方法中涉及的大多数理论是在高等数学中学过的内容,但是它更注重怎样运用这些理论去解决问题,而不是理论本身.因此,它有助于加深学生对数学理论的理解和认识,例如泰勒展开、微分中值定理和拉格朗日余项定理等.（2）计算公式较多且难记,尤其一些误差分析的公式.（3）注重对计算机的使用,许多问题必须在计算机上才能实现.针对这些特点以及目前的课时安排,如何更有效地提高计算方法课程教学质量以及结合学生实际情况实现课程教学目标,改变以往传统教学中的教师“满堂灌”和学生死记硬背的“教”与“学”的方式,解决以往教学中理论与实践之间比例失衡的问题,提高学生的创新能力和解决实际问题能力,是计算方法课程所面临的挑战,也是计算方法课程组进行教学改革的目的.
中国计量学院目前开设的计算方法课程面向测控技术与仪器、热能与动力工程、工程力学和安全工程等工科专业的大三学生,学分2.0,共36学时,其中8学时为实验教学学时.结合本课题组多年的教学经验及改革尝试,本文主要阐述我们在计算方法课程上的一些思考和举措.
一、教学思想的更新――工程计算思想的提出
将计算方法简单地看作是在做数学练习题的想法是很片面的.计算方法不仅提供了利用计算机等工具近似求解数学问题的方法,加深了学生对高等数学中相关内容的理解,也开拓了学生的视野,活跃了学生的思想.
计算方法课程的理论与方法有很广泛的工程背景,每一种方法都直接或间接与应用相关,这些方法所涉及的数学问题大多数是从工程应用中提出的.例如,实验数据处理、汽车船舶外型设计、图形图像处理软件等问题中的插值与拟合,沙尘暴、空气污染物扩散模拟等问题中的线性方程组数值求解,“香蕉球”、“弧旋球”等趣味性研究的微分方程数值求解,化工过程软仪表构造中的非线性方程求根, 光学电压互感器中的数值积分等.因此,在学生的学习中确立工程思想至为重要,这不仅可以让学生看到计算方法的实际应用,提高他们的积极性和主观能动性,而且可以极大地改变他们对大学数学教育的看法.从计算方法的教学目的来看,这些想法正是我们所需要的,而且也是大学基础教育中所缺乏的,即让学生感受理论与实践之间是紧密联系的,理论服务于实践以及理论到实践的回归过程.所以,在计算方法课程教学中强调问题的工程背景和工程计算思想,对学生有助于数学的理解和应用能力的提高.
确立工程计算思想,还希望从根本上改变学生被动学习的不好倾向.如果学生以工程师的身份来面对一个计算问题,其投入的主动性和学习效果强于纯习题式训练.实现从学生到工程师角色的转变,从被动学习转换为主动学习,从抽象学习转化为解决实际问题,这是课题组追求的一个目标.
二、教学方法的改进――应用能力与计算素质的培养
在教学方法上,我们立足于目前开设课程的课时量以及面向学生的数学基础,重点针对学生的应用能力及计算素质的培养,主要有以下几个举措.
1.注重思维方式的培养.这主要体现在计算方法的核心思想,即离散、逼近、迭代和近似等思想.计算方法的理论基础往往来自于严密的数学定理和定律,而实际问题一般比较复杂,无法直接套用理论,因此从严密的理论到实际应用需要一些“折中”和“妥协”,这就常常会有连续问题离散化,用已知的简单函数逼近未知函数,远离精确值的猜想逐渐迭代至精确值等.无论哪一种“妥协”的结果,都是一种近似的过程,因此误差思想必须始终贯穿.对这些核心思想的领会不仅有助于学生的学习,也使学生对计算方法课程的作用和任务有更清晰和深刻的认识,了解“理论”和“实践”之间既有联系又有区别.
2.多媒体教学内容的更新.多媒体手段可加大课堂信息量,能挖掘出“黑板”达不到的直观、动态效果, 使难以理解的抽象理论形象化、生动化,将学生带入模拟场景,提高学生的学习兴趣,教学效果显著.一方面通过图像和视频方式,增加相关的科研与工程背景介绍,尤其是教师自身的科研和工程经验,引导学生以科研工作者或工程师的角色进入教学过程；另一方面,计算结果的可视化处理,通过一些图形或动画可以将复杂抽象的拉格朗日插值余项定理、样条插值曲线和欧拉方法等准确直观地演示在屏幕上,帮助学生克服对公式的畏难及厌烦心理,从对结果的感性认识上升到对方法和理论的理性认识.
3.新概念和新方法的引入.例如汽车设计中的
Bezier曲线、Google的云计算、GPU计算等,通过这些新内容可以使学生了解相关领域的前沿发展,突破传统计算方法课程的教学内容,拓展学生的视野,赋予计算方法课程以持久的生命力和魅力. 4.注重培养学生的应用能力.鼓励学生掌握一种先进的计算软件（工具）, 如Matlab, Mathematic或Maple等.通过自己编程实现算法往往会纠缠于编程语言的语法问题,其结果使得学生缺乏耐心和信心.面对计算科学的发展,计算方法课程应改革过去重点面向编程语言的做法,将学生的角色从原来的“程序员”改变为“工程师”,注重培养应用计算工具的能力.为学生构建一个先进的面向科学计算与工程计算的平台,在这样一个平台上,利用Matlab 等软件的强大的计算功能和图形处理功能,使得抽象复杂的定义、概念及算法简单化、清晰化,使得计算结果“可视化”.这将激发学生学习兴趣,变被动学习为主动学习.
5.注重培养学生的计算素养.各种算法的构造过程都体现了如何从实际问题的数学模型出发, 用化繁为简、以直代曲、化连续为离散、逐步校正、无限逼近等来解决具体问题的思维过程, 是培养学生的数学思维、工程应用能力和工程计算素质的范例.教学中应渐进地、系统地传授其基本思想、原理和方法,尽量简化理论推导过程,注意由浅入深,有详有略.
三、实验内容的革新――工程背景下的“计算”
实验教学不仅是对理论知识的验证,更重要的是培养学生动手能力、基本科研能力和创新能力的重要环节.通过设计一定数量的工程计算实例,使学生将理论与实践相结合, 提高学生应用具体算法解决具体实际问题的能力.实验教学的改进措施主要有以下几点.
1.实验题目的选择.题目的恰当程度直接影响到学生的积极性.一般来说,实验题目如果略去实际工程背景,仅仅给出数学公式和方程,很难达到实验教学的目的.实验题目应当尽可能提取自教师自身的科研工作或工程项目,可以将项目中的一些问题分解成若干子问题,并与计算方法的课程内容结合布置下去.例如“微流体纳米颗粒的电动力学研究”研究项目中的颗粒运动可以简化为微分方程的求解,流体运动可以简化为线性方程组的求解,“超常颗粒多相流动力学模型”项目中的颗粒的布朗运动可以分解出非线性方程求根、多项式拟合和数值积分等三个问题,学生在进行这些计算的实验中实际上已经参与了教师的科研和工程项目,这会给学生带来新鲜感和荣誉感,从而调动其积极性,同时也有助于教师自身的科研活动.
2.以团队形式完成实验,三人为一组,明确分工,注重合作与协调,强化实验的流程,即实际问题→数学模型→算法选择→计算结果→分析与讨论,提高学生理论联系实际和解决实际问题的能力.
3.以答辩的形式考查实验完成情况,有助于学生之间的交流,为学生建立了一个展示工作成果的舞台,能起到增强学生责任感的作用.