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三角函数与函数交汇的试题是近两年常考题型,主要以选择题形式呈现,用来考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力,难度较大.
解答三角函数与函数交汇的试题时,需要充分运用三角函数的奇偶性、周期性和对称性,并结合函数性质的定义进行讨论；要尽量作出所要求函数的示意图,从数形结合的角度考虑问题会更直观.
函数y等于的图象大致为（ ）
A B
C D
思路 本题应从奇偶函数图象的对称性和极限思想的角度来排除选项. 由于函数y等于为奇函数,其图象关于原点对称,可排除A,利用极限思想（如当x→0+时,y→ +∞）可排除B,C,从而得到答案D.
经典答案 令y等于f（x）等于,因为f（-x）等于等于-等于-f（x）,所以函数y等于为奇函数,所以其图象关于原点对称,可排除A；又当x→0+时,y→+∞,故可排除B；当x→ +∞时,y→0,故可排除C；而D均满足以上分析. 故选D.
设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）等于f（x）,f（x）等于f（2-x）,且当x∈[0,1]时,f（x）等于x3. 又已知函数g（x）等于xcos（πx）,则函数h（x）等于g（x）-f（x）在-,上的零点个数为（ ）
?摇A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
思路 利用函数的奇偶性与函数的解析式,求出x∈0,,x∈,时,g（x）的解析式,推导出f（0）等于g（0）, f（1）等于g（1）,g等于g等于0,画出函数的草图,判断零点的个数即可.
经典答案 因为当x∈[0,1]时,f（x）等于x3.又当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],所以f（x）等于 f（2-x）等于（2-x）3.当x∈0,时,g（x）等于xcos（πx）；当x∈,时,g（x）等于-xcos（πx）. 注意到函数f（x）,g（x）都是偶函数,且f（0）等于g（0）, f（1）等于g（1）等于1,g等于g等于0,作出函数f（x）和g（x）的草图（如图1）,函数h（x）除了0,1这两个零点之外,分别在区间-,0,0,,,1,1,上各有一个零点,共有6个零点,故选B.
图1
已知函数f（x）等于4x3-3x2sinθ+的极小值大于零,其中x∈R,θ∈[0,π].
（1）求θ的取值范围；
（2）若在θ的取值范围内的任意θ,函数f（x）在区间（2a-1,a）内都是增函数,求实数a的取值范围.