运用数学技巧,解决物理问题

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摘 要 ：高中物理中要求学生有“应用数学方法处理物理问题”的能力．所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分析,以形成对问题的判断、解释和预测．可以说,任何物理问题的分析、处理过程,都是数学方法的运用过程．关于物理问题中极值的求法很多,本专题中所列出的极值、临界值、极限等数学方法,就是高中物理中的最常见,却又最不容易掌握的技巧.所列有限,仅供抛砖引玉!

关 键 词 ： 数学方法高中物理极值临界

一、极值

1．利用三角函数求

y＝acos θ＋bsin θ

＝a2＋b2(aa2＋b2cos θ＋ba2＋b2sin θ)

令sin φ＝aa2＋b2,cos φ＝ba2＋b2

y＝a2＋b2(sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝a2＋b2sin (φ＋θ)

φ＋θ＝π2时,y有最大值,且ymax＝a2＋b2．

【经典题例1 】 如图1所示,重为G的木块,在力F的推动下沿着水平地面匀速滑动,若地面与木块的动摩擦因数为μ,F与水平方向成α角,试说明：若α角超过某一临界值时,无论推力F多大,木块都不可能发生滑动,并用μ值表示该临界角大小.

析：Fcosα等于f,Fsinα+G等于N,f等于μN,

F→∞时,cosα-μsinα→0,cosα-μsinα＝0时,无论F多大,

木块也不可能发生滑动.

α等于tan-1

【举一反三】一物体质量为m,置于倾角为α的斜面上,

物体与斜面间的动摩擦因数为μ,若要使物体沿斜面

匀速向上滑动,求拉力的最小值.

（ ）

2．利用二次函数求

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax＋b24a2)＋c－b24a＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(其中a、b、c为实常数),当x＝－b2a 时,有极值ym＝4ac－b24a(若二次项系数a>0,y有极小值；若a<0,y有极大值)．

【经典题例2 】一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶.恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边赶过汽车.汽车从路口开动后,在追上自行车之前过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?

析：匀速运动 ,

匀加速运动

两车

当

或 将转化

【举一反三】 在掷铅球的运动中球出手时距地面高度为 ,速度为 ,求 与水平方向成何角度水平射程最远?最大射程 ?

（ ）

【经典题例3 】 电路四个干电池,每个电池E等于1.5 V,r等于0.5Ω, R1等于2 Ω, R2等于6 Ω,R3为变阻器,总电阻12 Ω,求变阻器触头C移至什么位置时V读数最大电压表读数的最大值

析： 设 则

令 当 有极大值时,U有极大值,由分析可得 ,

当 时,

.

【举一反三】 一条轻质绳子长度为L,一端固定在O点,另一端拴一个质量为 的小球,拉起小球使轻绳处于水平,然后无初速释放小球,如图1所示,小球在运动到最低点的（ ）

3．利用均值不等式求

对于两个大于零的变量a、b,若其和a＋b为一定值p,

则当a＝b时,其积ab取得极大值 p24；对于三个大于

零的变量a、b、c,若其和a＋b＋c为一定值q,则当

a＝b＝c时,其积abc取得极大值 q327．

【经典题例4】盛水容器的侧壁上开一小孔,小孔应开在离水面多高处,从小孔中喷出的水射程最远?

析：

,

,

是定值,当 , ,s极大值

【举一反三】竖立黑板的上、下端A点、B点到观察者眼睛位置C的竖直高度分别为a和b,观察者到黑板水平距离满足什么条件,看黑板的视角最大.

（ ）

二、 利用临界状态求

分析这类问题时挖掘隐含条件,确定临界条件,对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析是解题的关键.

【经典题例5】在光滑水平面上叠放A、B物体,mA等于6 kg、mB等于2 kg,A、B间μ等于0.2,A系一细线能承受最大拉力20N,现水平向右拉细线,( g取10 m/s2)

A.F<12 N,A静止不动

B.F>12 N,A相对B滑动

C.F等于16 N,B受A的摩擦力等于4 N

D.无论F多大,A相对B始终静止

析：B:μmAg等于mBamax

amax等于等于6 m/s2

A、B系统:Fmax等于(mA+mB)amax等于48N

F

因地面光滑,A错；F大于12N而小于48N时,A相对

B静止,B错.

F等于16N时,其加速度a等于2m/s2.

B:f等于4N,故C对.

最大F等于20N,A、B总是相对静止,D对.（CD）

【举一反三】一弹簧秤的秤盘质量m1等于1．5kg,盘内放一质量为m2等于10．5kg的物体P,弹簧质量不计,其劲度系数为k等于800N/m,系统处于静止状态,如图9所示.现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初0．2s内F是变化的,在0．2s后是恒定的,求F的最大值和最小值各是多少?（g等于10m/s2）（168N, 72 N.）

三、极限方法求

极限是描述数列或函数在某一无限过程中的变化趋势,利用极限方法求某物理量的极值,可加深对物理知识的理解,从而提高学生分析解决问题的能力

【经典题例6】如图10所示,小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑,滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回.若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端一共通过的过程.

析：第一次

, ,

第二次

, ,

第n次 , ,

总路程

【举一反三】一个篮球从离水平地面高为H处自由落下,当它到达地面后被弹起,每次弹起后上升的高度为弹起前下落高度的k倍（k＜1）,不计空气阻力,问：篮球在跳动过程中可能经历的总路程多大?

（•,H ）

高中物理解题还会用到很多巧妙的数学方法,如求导、用矢量三角形、几何方法、图像方法等等,在此不一一列举.