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摘 要 : 极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科.其贯穿整个微积分学,是微积分的重要内容和难点.
关 键 词 :极限思想 近代数学 微积分
中图分类号:TB112文献标识码:A
极限的思想,指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量,最后用极限计算来得到这结果.
极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的.
一、极限思想的产生与发展
(1)极限思想的由来.
极限思想也是社会实践的产物.追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用,古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法――归谬法来完成了有关的证明.
到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”.
(2)极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具.
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论.他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础,他说:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”.但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的,因而他无法得出极限的严格表述.牛顿所运用的极限概念,只是接近于下列直观性的语言描述:“如果当n无限增大时,an无限地接近于常数A,那么就说an以A为极限”.
(3)极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系.
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺,他把函数f(x)的导数定义为差商Δy/Δx的极限f′(x),他强调指出f′(x)不是两个零的商.波尔查诺的思想是有价值的,但关于极限的本质他仍未说清楚.
19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”.
柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.
柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.
为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础.所谓 an等于A,就是指:“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|an-A|<ε恒成立”.
这个定义,借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用.在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系,此外只是给定、存在、任取等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不再求助于运动的直观.
常量数学静态地研究数学对象,自从解析几何和微积分问世以后,运动进入了数学,人们有可能对物理过程进行动态研究.之后,维尔斯特拉斯建立的ε-N语言,则用静态的定义刻划变量的变化趋势.这种“静态――动态――静态”的螺旋式的演变,反映了数学发展的辩证规律.
二、 极限思想与辩证哲学的关系.
(1)变与不变的对立统一.
(2)过程与结果的对立统一.
(3)有限与无限的对立统一.
(4)近似与精确的对立统一.
(5)量变与质变的对立统一.
(6)否定与肯定的对立统一.
三、数学分析的研究对象是函数,研究方法是极限.
数学分析与初等数学的本质区别在于用极限的方法研究函数,极限论是数学分析的基础理论.
数列的极限.
对于一个数列{an ｝存在极限a 的证明方法是:
数列的定义求法: