基于一道经典习题开展数学探究教学

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摘 要 ：数学新课程标准倡导积极主动、勇于探究的学习方式.在课堂教学实践中,要求教师对日常的课堂教学例题或习题要进行认真的筛选,精心的分析、探究,引导学生主动参与探索,从而达到培养学生的探究能力.本文是笔者在一次课堂教学中真实的探究.

关 键 词 ：数学学习；习题；探究教学

中图分类号：G712文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）19-092-2习题在直角坐标系xoy中,抛物线y2等于2px（p>0）上有两个动点A、B,且满足∠AOB等于90°（O为坐标原点）.求线段AB中点M的轨迹方程.

分析在高中数学教学中,建立动点的轨迹方程的本质就是建立动点的横坐标x与纵坐标y之间的关系式.一是根据已知条件直接建立动点的横坐标x与纵坐标y的方程；二是引进参数t,用参数t分别表示坐标x,y,然后再消去参数建立x,y之间的关系.

一、在问题解决的过程中进行探究

要真正开展探究,不能只是重视结果,更要关注解题方法和思路的形成过程,在过程中要给学生时间和空间.

1.思路一：用参数方程的思想建立轨迹方程

探究一设直线AB的方程,然后用直线方程中的斜率或截距等参数表示动点的横坐标和纵坐标,最后消去参数建立轨迹方程.

分析（1）若线段AB的斜率不存在时,则A、B关于x轴对称,即OB的直线方程为y等于x,由y等于x,

y2等于2px,解得x等于2p,

y等于2p,即A（2p,2p）,所以线段AB中点M的坐标为（2p,0）.

（2）若线段AB的斜率存在时,设直线AB的方程为：y等于kx+b,A（x1,y1）、B（x2,y2）,线段AB中点M（x0,y0）,则y0等于kx0+b,由∠AOB等于90°,所以x1x2+y1y2等于0.

再由y等于kx+b,

y2等于2px,消去x得ky22p-y+b等于0,则y1+y2等于2pk,y1y2等于2pbk,

由y21等于2px1,y22等于2px2,所以x1x2等于y21y224p2等于b2k2,又由x1x2+y1y2等于0,得b等于-2pk,

又y0等于kx0+b,所以y0等于k（x0-2p）等（1）,而y0等于y1+y22等于pk等（2）,

（1）,（3）得y20等于p（x0-2p）,所以线段AB中点M的轨迹方程为y2等于p（x-2p）.

点拨本题所求的动点是AB的中点,所以可将问题转化为直线AB与抛物线的位置关系来处理,利用一元二次方程根与系数的关系,直接表示出中点M的横坐标和纵坐标与直线AB斜率k之间的关系,然后再消去参数k,从而建立中点M的轨迹方程,此种方法称为参数法.

参数法解题的关键是如何假设参数,本题是否换个角度假设参数来求解呢?学生思考探究出如下解法.

探究二设直线OA的方程为y等于kx,则直线OB的方程为y等于-1kx,用参数k求出点A、B坐标,然后表示中点M的坐标,最后消去参数建立轨迹方程.

分析设AB中点M（x,y）.由OA⊥OB,设直线OA的方程：y等于kx,则直线OB的方程：y等于-1kx.

由y等于kx,

y2等于2px,消去x得y2等于2pky,所以A（2pk2,2pk）.同理将k代换为-1k,得B（2pk2,-2pk）,

则x等于pk2+pk2,

y等于p（1k-k）,消去k得y2等于p（x-2p）.所以线段中点M的轨迹方程为y2等于p（x-2p）.

点拨由于OA⊥OB,设OA的斜率为k,则OB的斜率为-1k,从而可以求出A、B两点坐标,进而求出中点M的横坐标、纵坐标与斜率k的关系式,然后再消去参数.

此两种方法都称为参数法,其实本题能否根据已知条件,找到与动点有关的等量关系式来建立轨迹方程呢?

2.思路二：将已知条件转化为关于动点的等量关系式

探究三将条件∠AOB等于90°,转化为动点OM等于12AB,然后用两点距离公式直接表示,建立方程.

分析当直线AB斜率不存在时,求得中点M的x等于2p.

当直线斜率存在时,设抛物线上的动点A（x1,y1）、B（x2,y2）,中点M（x0,y0）,则

y21等于2px1,y22等于2px2,（y1y2）2等于4p2x1x2.由y21-y22等于2p（x1-x2）,

所以kAB等于y2-y1x2-x1等于2py1+y2等于py0,

由∠AOB等于90°,所以x1x2+y1y2等于0,则y1y2等于-4p2,x1x2等于4p2.

又由∠AOB等于90°,所以OM等于12AB.而OM等于x20+y20,

AB等于（x1-x2）2+（y1-y2）2等于1+k2AB|x1-x2|等于1+k2AB（x1+x2）2-4x1x2

等于1+p2y204x20-16p2,由OM等于12AB,所以x20+y20等于121+p2y204x20-16p2,

化简得x20+y20等于（1+p2y2）（4x20-16p2）,y40+4y20p2+4p4等于p2x20,则

（y20+2p2）2等于p2x20,由x0≥0,所以y20等于px0-2p2.即线段AB的中点M的轨迹方程为y2等于p（x-2p）.

点拨在我们研究的问题时,不能就题解题,有时需要我们认真研究已知条件,利用有关概念的性质,挖掘出问题的隐含条件,以便快速求解.

为了能很好地开展探究,需要我们指导学生牢固的掌握基础知识,学会多联想.其实我们知道在抛物线中,抛物线上若两点的横坐标或纵坐标乘积为定值,则这两点连线的动弦过定点.由上求解知A,B两点的横坐标和纵坐标都为定值,从而猜想直线AB过定点.

探究四利用已经知道的结论寻找动点的等量关系式.由∠AOB等于90°知道斜边AB所在直线过定点Q（2p,0）,然后得到与动点M有关的关系式kAB等于kMQ.

分析设抛物线上的动点A（x1,y1）、B（x2,y2）,中点M（x,y）,则y21等于2px1,y22等于2px2,（y1y2）2等于4p2x1x2,由∠AOB等于90°,所以x1x2+y1y2等于0,则y1y2等于-4p2,x1x2等于4p2. 当直线AB的斜率不存在时,则A、B两点关于x轴对称,设直线OA的方程为y等于x,解得A（2p,2p）,同理解得B（2p,-2p）,所以直线AB方程为：x等于2p；

当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y等于kx+b,由y等于kx+b,

y2等于2px,所以k2py2-y+b等于0,所以y1y2等于2pbk,所以b等于-2pk,则直线AB为y等于k（x-2p）,所以直线AB恒过定点为Q（2p,0）.

问题转化为求过定点Q（2p,0）的抛物线的弦的中点的轨迹方程.由kAB等于y1-y2x1-x2等于2py1+y2等于py,又直线AB过点Q、M,所以kMQ等于yx-2p,由kAB等于kMQ,所以y2等于p（x-2p）,即线段AB中点M的轨迹方程为y2等于p（x-2p）.

点拨本题的解法是将OA⊥OB等价转化为直线AB过定点Q,再利用直线AB上有四点,即AB的斜率与MQ的斜率相等.

探究五设而不求的思想.

分析设抛物线上的动点A（x1,y1）、B（x2,y2）,中点M（x,y）,则y21等于2px1,y22等于2px2,所以（y1y2）2等于4p2x1x2,由∠AOB等于90°,所以x1x2+y1y2等于0,则y1y2等于-4p2,

由x等于x1+x22,

y等于y1+y22,所以x等于y21+y224p等于（y1+y2）2-2y1y24p等于4y2+8p24p,所以y2等于p（x-2p）.

所以线段AB中点M的轨迹方程为y2等于p（x-2p）.

点拨在圆锥曲线中,在处理直线与圆锥曲线相交问题时,直接求交点比较复杂,通过设而不求,避免了求交点,同时也简化了计算.

在我们平时的教学过程中,我们最容易做的,也是最好做的首先是开展一题多解,进行探究,在此基础上,我们可以组织学生多变、拓展、延伸的探究.

二、在对原问题的条件和结论的互换、拓展、延伸中进行探究

拓展一若将原点改为抛物线上的除原点外的任意定点Q（x0,y0）,A、B为抛物线上的动点,若∠AQB等于90°,求动弦AB的中点M的轨迹方程.

分析设抛物线上的动点A（x1,y1）、B（x2,y2）,则y21等于2px1,y22等于2px2,AB中点M（x,y）,由∠AQB等于90°,所以（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）等于0,

所以有（y212p-y202p）（y222p-y202p）+（y1-y0）（y2-y0）等于0,（y1+y0）（y2+y0）+4p2等于0,

则y1y2+（y1+y2）y0+y20+4p2等于0等（1）.

由M为AB的中点,所以x等于x1+x22,

y等于y1+y22,等（2）,

∴2x等于y21+y222p,

所以4px等于（y1+y2）2-2y1y2等（3）,

由（1）（2）（3）得4px等于4y2+4y0y+2y20+8p2,所以y2+y0y+12y20+2p2-px等于0,

所以所求点的轨迹为y（y+y0）等于p（x-x0-2p）.

三、在一法多用中探究

拓展二在直角坐标系xoy中,过抛物线y2等于2px（p>0）对称轴上一定点P（2p,0）任作一直线交抛物线于点A、B,O为坐标原点,问直线OA、OB的斜率之积是否问定值（∠AOB是否为定值直角）?

分析若所作直线的斜率不存在,则A（2p,2p）,B（2p,-2p）,则kOAkOB等于-1,则直线OA、OB的斜率之积为定值-1.

若所作直线的斜率存在,则设直线方程为x等于my+2p,A（x1,y1）,B（x2,y2）.

由x等于my+2p,

y2等于2px,消去x得y2-2pmy-4p2等于0,则y1y2等于-4p2,又由y21等于2px1,y22等于2px2,所以（y1y2）2等于4p2x1x2,则x1x2等于4p2,又由kOAkOB等于y1y2x1x2等于-1,所以直线OA、OB的斜率之积是定值-1.

拓展三在直角坐标系xoy中,过抛物线y2等于2px（p>0）对称轴上一定点P（a,0）任作一直线交抛物线于点A、B,O为坐标原点,问直线OA、OB的斜率之积是否为定值?

分析探求过程与拓展二相同,直线OA、OB的斜率之积是定值-2pa.

结论过抛物线对称轴上一点（异于抛物线的顶点）任意作一直线交抛物线于A,B两点,则抛物线的顶点与这两点连线的斜率之积为定值,其他任意一定点与这两点的连线斜率之积不为定值.

高中数学课堂上应力求通过各种不同形式的探究活动,将知识的传授过程变为知识的探究过程,方法的形成过程变为思维升华的探究建构过程,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.