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摘 要 ：《高等数学》的主要内容是函数的微积分,极限思想恰是研究函数微积分的重要方法.对学生而言,学好极限、掌握极限运算的类型和技巧对其学好微积分至关重要.本文就极限运算的类型做一总结,在此基础上提出解题技巧.
关 键 词 ：极限；运算；分类
极限理论是《高等数学》的基础,也是这门课程的基本推理工具.同时,极限思想是研究函数微积分的重要方法,将贯穿高等数学的始终.所以,学生掌握极限及连续的基本概念,并能熟练运用它们的一些主要性质,对学好微积分至关重要.从事高职院校《高等数学》教学已有六年,笔者发现,极限的概念及运算对各届学生来说,都是一个难点.首先,极限思想不好理解,其次,函数类型多变,极限方法又很多,学生不知如何下手.本文从极限思想的介绍出发,总结了极限运算的常见题型,并指出解决方法,希望能给同行的教学和学生的学习提供有益的参考.
1. 极限思想的引入
要想让学生树立极限思想,理解极限的概念,必须以生活中他们所熟知或者容易理解的现象为引例,让他们感知极限.笔者认为,可引用我国古代数学史上的一些极限思想：我国古代数学家刘徽利用圆的内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法――割圆术,就是用极限思想研究几何问题.他利用割圆术科学地求出了圆周率 的结果,并提出"割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣",这可视为中国古代极限观念的佳作.《庄子,天下篇》中提到“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”介绍这些历史知识,一方面,可以增强学生的民族荣耀感,另一方面,学生在了解数学史的过程中,脑海中已经建立了数学思想的雏形,达到深入浅出的效果.
2.一元函数.极限运算的分类和解题技巧
学生有了极限思想后,任课教师顺势给出极限的定义,强调函数的极限与自变量的变化趋势有关,即自变量不同的变化趋势下,函数的极限也不尽相同.实践证明,如此安排教学,学生易于接受和理解.掌握函数极限的定义后,引入函数的极限运算法则.运算法则告诉我们,在自变量的同一变化过程中,如果各函数的极限存在,则四则运算和极限运算可交换次序,即,函数的和、差、积、商的极限等于各函数极限的和、差、积、商（分母极限不为零）,常数可提出不参与运算.笔者在教学过程中总结了函数极限运算的心得,其中心思想是：先判断类型,然后对症下药.第一类为多项式函数求极限,根据运算法则可得到极限值等于函数值的结论；第二类为多项式除以多项式的分式求极限,该类题目又分为五种类型,不同的类型有不同的解决方法.首先,判断类型的方法是： 趋向于几,就把该数字带入分子、分母,若都是非零常数,则为 型,根据运算法则该极限值等于分子、分母极限的商,数值上等于函数在该点的函数值；若分子为零,则为 型,由运算法则知该极限为零；若分母为零,则为 型,因分母极限为零,所以运算法则失效,但根据无穷大与无穷小的关系,可知该极限为无穷大,即极限不存在；若分子、分母同时为零,则为 型,可通过因式分解或有理化将零因子消掉,就可化为多项式或 型,即可解决；若分子、分母都无限增大,则为 型,分子、分母同除以 的最高次数,其中若 ,可用重要结论.对于 型和 型,在学过导数的应用后,可用洛必达法则,即分子、分母先求导然后再求极限.第三类是被求极限的函数形式和两个重要极限的形式类似,即利用两个重要极限解题.以上思想可用下图说明：
另外,在极限运算过程中,可适当使用等价无穷小代换：
下面就以上各种类型的题目举例：
例1：求
解： 被求极限的函数是多项式,根据运算法则可得到极限值等于函数值
例2：求
解：首先将1带入分子、分母,都为非零常数2,所以判断为 型,极限值为函数值,
则
例3； 求
解：首先将1带入分子为0,分母为非零常数2,所以判断为 型,由极限运算法则知值极限值为0
例4：求
解：首先将1带入分子为非零常数2,分母为0,所以判断为 型,分母极限为零,所以运算法则失效,但根据无穷大与无穷小的关系,可知该极限为无穷大,
此处极限为无穷大应理解为极限不存在.
例5：求
解：首先将1带入分子、分母,均为0,所以判断为 型,分母可用平方差公式因式分解
例6； 求
解：当 时,分子、分母都是无穷大,根据重要结论,当分子、分母最高次数相同时,极限值等于最高次数的系数比
例7：求
解： 时, 等价于
此题也可用第一个重要极限做,但过程比较繁琐
例8：求
解：由函数的形式可知利用第二个重要极限即可
需要注意的是：1）等价代换必须是整体代换,坚决杜绝部分代换.
2）和重要极限中的 一样, 可看成一个整体.
3）一切初等函数在其定义域内都是连续的,即若求初等函数在其定义域内某点处的极限,直接求函数值即可.
以上是对一元函数极限运算的总结.
3.多元函数极限的引申与推广
对于多元函数,有命题：一切多元初等函数在其定义域内都是连续的,所以,要求多元初等函数在其定义域内某点处的极限,直接求函数值即可.若不在定义域中,可尝试用变量代换的方法,将多元函数的极限问题,转化为一元函数的极限问题.
例9：求
解：
原式等于
即转化为一元函数的极限问题
由重要极限可知,该极限为1.
极限运算的题目类型多,方法也很多,如何根据题目的特征准确、快速的找到解题方法,是困扰学生的一大问题.本文所总结的类型和解题技巧是笔者教学和实践中的一些心得,初学者在学习过程中,可参考本文先判断出极限题目的类型,然后根据本文所给的解题思路和技巧,轻松、快速、准确地得到答案,对其提高极限运算的能力和学好微积分有很大帮助,同时也锻炼了学生分析问题和解决问题的能力.