反例在理解数学中概念方面的应用

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【摘 要】反例对于数学分析整个学科的理论完善和发展起着重要作用.本文的主要内容是对数学分析中反例在理解概念方面的应用进行举例概括总结,以介绍反例这种数学方法为目的,通过具体实例来说明.数学分析中的概念与反例太多,篇幅有限,难以枚举,本文仅对应用反例透彻理解定义,准确把握概念间的关系,揭示概念内涵,三个方面进行分类介绍.力求尽可能详尽的将反例在理解数学分析中概念方面的重要应用呈现出来.另外,就应用反例应注意的问题做以简单介绍.

【关 键 词】数学分析;概念;反例;应用

数学分析的内容包含一套抽象而且形式化的严谨的理论体系,概念的本质较为难以理解.学习过程中容易犯的一些想当然的错误,反例是解决此类问题最有效的方法.

1.反例在理解定义方面的应用

反例是强化概念的有力工具,也可以深化学生对知识的理解.本节主要通过函数在一点极限的定义的两个具体例子来说明反例在帮助理解定义上的作用.对于初学者来说,对这些定义的理解常常模糊不清,在讲授这些知识的时候,如果从正面论述,同学们对它们的理解并不深刻.如果配合一些反例说明,效果就不一样了.

1.1定义[1,P42]设函数在点的去心邻域内有定义,如果存在常数,对于,,当时,有,成立,则称函数当时存在极限,极限是,记为或.

在此定义中,要求函数在点的去心邻域内有定义,说明函数在点的极限与在点的情况无关.在点没定义,但在点的极限仍可能存在.

例1设恒成立,但在某一点处有.

分析:如.函数恒成立,但在处有:

()

说明函数在点的极限与在点的情况无关.函数在没定义的点也可以有极限.

例2函数.

分析:该函数在点没定义,但

所以,函数在没定义的点也可以有极限.

学习新定义时,死记硬背容易记错或记不全,而理解是记忆、运用定义的最好方法.如上例则容易忽视掉定义的某些条件,就定义中的去心邻域,应该回过头来仔细分析一下,为什么是去心邻域而不是普通的呢?它们会造成什么样的不同?举出类似上述的例子,将会对定义的理解更加深入,而并不只是一些表面印象.在教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解,给他们留下深刻的印象.

2.反例在理解概念间关系方面的应用

2.1导数与函数连续性之间的关系

导数与函数连续性之间的关系对于初学者较难理解,应用反例可以比较方便地学习它.

定理2.1.1[1,P89]若函数在点X0可导,则必在该点连续.可导仅是函数在改点连续的充分条件,而不是必要条件.

例3

分析:该函数处处连续,但在点不可导(在该点左右导数不相同).所以,函数在一点连续不一定在该点可导.

函数在点,极限为,与其函数值相等,所以函数在该点连续;导数的意义是函数在该点的平均变化率的极限值,但,中,分子永远大于零,分母在左侧小于零,右侧大于零,左右导数一正一负,所以导数不存在.

自变量趋近点时,趋近于零,导数存在,则同时是趋近于零的,(因为其比值的极限为常数,它们为同阶无穷小),即,时,,正是函数在一点连续的定义.

2.2导数与函数值之间的关系

2.2.1若对于任意,有,则函数在内严格增加,但反之不真

例4,

分析:在上严格增加,但存在一点,使得,即不恒成立.

所以,严格增加不能得到导函数恒大于零.

该点仅为孤立点,函数仍然严格增加,函数递增递减是定义在一个区间上的整体性质,在某孤立点上导数等于零,也不会有在该点函数值不变的结论,只要在其两侧仍然有导数大于零,就一定有该函数严格增加.

2.2.2不可导的点可能为极值点

例5,

分析:在点不可导,但为的极小值点.

所以,不可导的点也可以是极值点.

2.2.3若函数在点可导,则曲线在点存在切线.但若函数在点不可导,曲线在点也可能存在切线

例6

分析:该函数在点不可导,但曲线在(0,0)处存在切线,即轴.

习惯利用导数求函数在某点的切线,久而久之形成了两者关系等价的错误理解.此例很好的揭示出导数是函数在某点存在切线的充分不必要条件.

2.3可积与函数一般性质之间的关系

2.3.1函数在上可积,但不一定存在原函数

例7

分析:此函数只在点间断,其他点均连续,因此在上可积,但在上不存在原函数.

事实上,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

定积分是数项和式,与不定积分有着本质的不同,可积与原函数的存在性没有必然的联系.2.3.2任意可积函数都有界,但反之不真

例8

分析:此函数在上有界,但并不可积.

所以,有界的函数不一定可积.

2.3.3若函数在闭区间上连续,则在上可积,但反之不真

例9

分析:此函数在上可积,但在处间断,即在闭区间上不连续.

所以,函数在闭区间上可积,但不一定在上连续.

这样的例子很多,因为在上,如果有有限个间断点,且有界,则就是可积的;又闭区间上的单调函数,若有可数个间断点,它仍是可积的.


2.3.4定理[1,P216]若函数在上可积,则在上也可积,但反之不真

例10

分析:在上连续,因而在上可积,但在任意区间上不可积.

所以,在上可积,可以有函数在上不可积.

3.反例在揭示概念内涵方面的应用

并非所有的周期函数都有最小正周期

例11狄利克雷函数:

分析:它的周期为任何有理数,没有最小正周期.

可见任何正有理数都是它的周期,但没有最小正周期.

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