高中数学建模与教学

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关 键 词：数学建模　数学应用意识数学建模教学

摘 要：为增强学生应用数学的意识,切实培养学生解决实际问题的能力,分析了高中数学建模的必要性,并通过对高中学生数学建模能力的调查分析,发现学生数学应用及数学建模方面存在的问题,并针对问题提出了关于高中进行数学建模教学的几点意见.

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和各种各样的应用问题紧密相关的.数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性,结论的明确性和体系的完整性,而且在于它应用的广泛性,自进入21世纪的知识经济时代以来,数学科学的地位发生了巨大的变化,它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿.经济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数学理论与方法的不断扩充使得数学已成为当代高科技的一个重要组成部分,数学已成为一种能够普遍实施的技术.培养学生应用数学的意识和能力也成为数学教学的一个重要方面.

目前国际数学界普遍赞同通过开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革.美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学,把数学建模活动从大学生向中学生转移是近年国际数学教育发展的一种趋势.“我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视,因此,高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强.”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要切实培养学生解决实际问题的能力,要求增强应用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题.这些要求不仅符合数学本身发展的需要,也是社会发展的需要.因此我们的数学教学不仅要使学生知道许多重要的数学概念、方法和结论,而且要提高学生的思维能力,培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问题,从而形成良好的思维品质.而数学建模通过“从实际情境中抽象出数学问题,求解数学模型,回到现实中进行检验,必要时修改模型使之更切合实际”这一过程,促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识,从而拓宽了学生的知识面和能力.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一,是改善学生学习方式的突破口.因此有计划地开展数学建模活动,将有效地培养学生的能力,提高学生的综合素质.

数学建模可以提高学生的学习兴趣,培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志,培养自律、团结的优秀品质,培养正确的数学观.具体的调查表明,大部分学生对数学建模比较感兴趣,并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程的学习．有许多学生认为：“数学源于生活,生活依靠数学,平时做的题都是理论性较强,实际性较弱的题,都是在理想化状态下进行讨论,而数学建模问题贴近生活,充满趣味性”；“数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系,感受到数学问题的广泛,使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻”.数学建模能培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献,自学的能力,组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力.由此,在高中数学教学中渗透数学建模知识是很有必要的.

那么当前我国高中学生的数学建模意识和建模能力如何呢?下面是节自有关人士对某次竞赛中的一道建模题目学生的作答情况所作的抽样调查.题目内容如下：

某市教育局组织了一项竞赛,聘请了来自不同学校的数名教师做评委组成评判组.本次竞赛制定四条评分规则,内容如下：

（1）评委对本校选手不打分.

（2）每位评委对每位参赛选手（除本校选手外）都必须打分,且所打分数不相同.

（3）评委打分方法为：倒数第一名记1分,倒数第二名记2分,依次类推.

（4）比赛结束后,求出各选手的平均分,按平均分从高到低排序,依此确定本次竞赛的名次,以平均分最高者为第一名,依次类推.

本次比赛中,选手甲所在学校有一名评委,这位评委将不参加对选手甲的评分,其他选手所在学校无人担任评委.

（Ⅰ）公布评分规则后,其他选手觉得这种评分规则对甲更有利,请问这种看法是否有道理?（请说明理由）

（Ⅱ）能否给这次比赛制定更公平的评分规则?若能,请你给出一个更公平的评分规则,并说明理由.

本题是一道开放性很强的好题,给学生留有很大的发挥空间,不少学生都有精彩的表现,例如关于评分规则的修正,就有下列几种方案：

方案1：将选手甲所在学校评委的评分方法改为倒数第一名记1+分,倒数第二名记2+,等依次类推；（评分标准）

方案2：将选手甲所在学校评委的评分方法改为在原来的基础上乘以；

方案3：对甲评分时,用其他评委的平均分计做甲所在学校评委的打分；

然而也有不少学生为空白,究其原因可能除了时间因素,学生对于较长的文字表述产生畏惧心理、不能正确阅读是重要因素.同时,一些学生由于不能正确理解规则（3）,得出选手甲的平均得分为,其他选手的平均得分为,从而得出错误结论.不少学生出现“甲所在学校的评委会故意压低其他选手的分数,因而对甲有利”的解释,而没有意识到作出必要的假设是数学建模方法中的重要且必要的一环.有些学生在正确理解题意的基础上,提出了“规则对甲有利”的理由,例如：排名在甲前的同学少得了1分；甲所在学校的评委不给其他选手最高分（n分）,所以甲得最高分的概率比其他选手高；相当于甲所在学校的评委把最高分给了甲；甲少拿一个分数,若少拿最低分,则有利；若少拿最高分,则不利；等等.以上各种想法都有道理,遗憾的是大部分学生仅仅停留在这些感性认识和文字说明上,没能进一步引进数学模型和数学符号去进行理性的分析.如何衡量规则的公平性是本题的关键,也是建模的原则.很少有学生能够明确提出这个原则,有些学生在第2问评分规则的修正中,提出“将甲所在学校的评委从评判组中剔除掉”,这种办法违背实际的要求.有些学生被生活中一些现象误导,提出“去掉最高分和最低分”的评分规则修正方法,而不去从数学的角度分析和研究.