利用物理意义推导二重积分的计算公式

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摘 要：二重积分化为累次积分是非常重要的公式,本文从实际出发,利用积分的物理意义推导二重积分的计算公式.

关 键 词：二重积分物理意义公式

在高等数学的教材中,二重积分的实际意义有几何意义和物理意义两种,分别代表是曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,但是传统教材中只是从几何意义出发,给出二重积分的计算公式.在本文中将从物理意义出发,给出直角坐标系下二重积分的计算公式.

假设区域D为X型区域,f（x,y）在区域D内连续,则区域D上二重积分的计算公式为

f（x,y）dxdy等于?蘩dx?蘩f（x,y）dy（1）

引理：设有一杆粗细可以忽略,占有实数轴上的区间[x,x],其线密度为ρ（x）,则此杆的质量为m等于?蘩ρ（x）dx.

设有一平面薄片占有平面区域D,其面密度为f（x,y）,由二重积分的物理意义可知,此薄片的质量为

m等于f（x,y）dxdy（2）

下面推导公式（1）.

?坌x∈[a,b],过x作平行于y轴的直线,分别交区域D的边界于点A、B,则区域D可以看成是这些平行于y轴的直线段AB的集合,从而平面薄片的质量为所有这些直线段质量的总和,直线段AB上的点横坐标都为x,纵坐标y由φ（x）到φ（x）,其线密度为f（x,y）（x看作常数）,由引理知其质量为

m（x）等于?蘩ρ（y）dy等于?蘩f（x,y）dy（3）

另外,将直线段AB投影于x轴,投影点即为x,相应地将直线段AB的质量压缩在点x上,则平面薄片的质量亦即为闭区间[a,b]的质量.由（3）可知,闭区间[a,b]的线密度为m（x）,于是闭区间[a,b]的质量为

m等于?蘩m（x）dx等于?蘩[?蘩f（x,y）dy]dx

等于?蘩dx?蘩f（x,y）dy

由（2）式可知,

f（x,y）dxdy等于?蘩dx?蘩f（x,y）dy

同理,此方法对Y型区域也成立.

特别的,当f（x,y）等于1,（x,y）∈D时,面密度为常数1,此时由公式

m等于μ×σ

其中μ为面密度,σ薄片的面积,可知二重积分

f（x,y）dxdy等于1dxdy等于σ

这是和几何意义推导二重积分的计算公式是不相违背的.

用物理意义来推导二重积分的计算公式,能加强对二重积分物理意义的理解,也加强了知识间的内在联系,也让学生理解到二重积分能够解决能用这一类和式的极限f（ξ,η）△σ求解的实际的问题.类似的,三重积分利用物理意义,在直角坐标系下将立体分别投影在坐标面上和数轴上,可得“2+1”模式的投影法和“1+2”模式的截面法.