优化课题,让课题闪光

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教学内容：

浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上第七章课题学习：《怎样选择较优方案》.

内容简析：

《怎样选择较优方案》是一次函数在现实生活中的重要应用,是学生在学习了方程不等式、一次函数、一次函数的图像、一次函数的简单应用后,在学生获得了一定探究方法的基础上,利用已学知识,解决生活实际问题的一种尝试.对学生以后步入社会,用数学的方法去解决生活生产的实际问题无疑是一种很好的锻炼.

对《怎样选择较优方案》的研究,要充分体现数学建模思想、数形结合思想和分类讨论思想,由于本课题课本资源单薄,仅一个移动通讯话费较优方案的选择问题.所以要求教师创造性的使用教材,深层次的挖掘教材,让教材包含的内容变得丰满,教材蕴含的思想得以体现,让课题闪光.

教学目标：

知识目标：1）进一步了解一次函数的解析式和图像在解决实际问题中的应用.

2）对于实际问题,能尝试使用代数法和图解法选择较优方案.

能力目标：1）通过对一个题目多种解法的思考,培养学生的发散性思维能力、创新思维能力.

2）通过较优方案的选择,培养学生运用数学知识解决生活实际问题的能力.通过小组合作,培养学生的合作能力.

3）通过课题学习培养学生数学建模思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程不等式思想、函数思想等

情感目标：1）通过较优方案的选择,让学生了解数学来源于生活又服务于生活.

2）通过合作交流,培养团队合作精神,加深同学间的互助和友谊.

教学重点、难点：

为了实现以上教学目标,确定本节课的教学重点是：用图解法解决简单实际问题.本节范例涉及到分段定义函数,在这种情况下画函数的图象,并形成图解法的思路有一定的难度,是本节教学难点.

教学方法：“启发式教学法、合作式教学法”.

教学过程：

一、陈题新做,引入课题

师：圣诞节快到了,同学们喜欢这个节日吗?

生：喜欢.

师：为什么?

生：因为圣诞节能够收到亲朋好友的祝福和礼物.

师：老师也很喜欢这个节日,记得十年前的圣诞,老师收到了一个礼物——手机.可在给手机选择套餐时,老师却犹豫了等

设计意图借助节日情境,引入课题,意在吸引学生注意力,激发学生学习数学的兴趣,提高学生自主学习的积极性.

电信营业员说：我公司对手机话费有以下两种计费方案：

全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0.40元/分0.60元/分

请问您选择哪一种?

设计意图给陈题配上情境“电信营业员说”“请问您选择哪一种?”,使题目变得更加亲切,让学生感觉他们真的是在帮助老师选择手机话费套餐,以提高学生思考的积极性.

师：我该选择哪一种?（学生众说纷纭）

师：老师选择的依据是什么?

生：省钱.

师：那么选那种计费方案比较省钱呢?手机费用和什么有关?

生：通话时间.

师：通话时间越长手机费用越多,通话时间越短手机费用越少.于是,我们设通话时间为x分钟,全球通费用为y全元,神州行费用为y神元.只要我们能表达出y全和y神就能判断哪种方案比较省钱.（师生共同完成解法一）

解法一：设每月通话时间为x分钟,则全球通每月话费：y全等于0.4x+50；神州行每月话费：y神等于0.6x.

当y全>y神时,即0.4x+50>0.6x,所以x<250；

当y全等于y神时,即0.4x+50等于0.6x,所以x等于250；

当y全250.

答：当0≤x<250分时,y全>y神,选择“神州行”较为省钱；当x等于250分时,y全等于y神,“神州行”和“全球通”一样；当x>250分时,y全

师：在解决这一问题时我们采用了分类讨论的思想方法,特别注意分类时要做到不重复,不遗漏.

师：这种利用方程和不等式的思想来解决较优方案问题的方法我们称之为代数法,那么除了代数法以外你还有没有其他方法?（学生思考后师生共同完成解法二）

图1解法二：设每月通话时间为x分钟,则全球通每月话费：y全等于0.4x+50；神州行每月话费：y神等于0.6x.在同一坐标系中画出图象（如图1）：

由图象得：

当0≤x<250分时,y全>y神,选择“神州行”较为省钱；当x等于250分时,y全等于y神,“神州行”和“全球通”一样；当x>250分时,y全

（边讲解边强调注意点：1）画图时应注意自变量的取值范围.2）求交点其实质是解方程组.）

师：这种利用图像来解决较优方案问题的方法我们称之为图解法,那么除了以上两种方法以外你还有其他方法吗?你能否对解法二的图像作进一步的优化?（学生思维碰撞后得出解法三）

图2解法三：设每月通话时间为x分钟,则全球通每月话费：y全等于0.4x+50；神州行每月话费：y神等于0.6x.两种计费的差为：y等于y全-y神等于-0.2x+50

在同一坐标系中画出图象（如图2）：

由图知：当0≤x<250分时,y全>y神,选择“神州行”较为省钱；当x等于250分时,y全等于y神,“神州行”和“全球通”一样；当x>250分时,y全

师：这种解法也利用了图像,我们也把它叫做图解法,那么除了以上三种方法以外你还有其他方法吗?生：我还有一种代数法,在得到两种计费方式的差y等于y全-y神等于-0.2x+50后,用方程和不等式对y进行分类讨论.

师：非常好,掌声鼓励!（教师多媒体展示解法四）

解法四：设每月通话时间为x分钟,则全球通每月话费：y全等于0.4x+50；神州行每月话费：y神等于0.6x.两种计费的差为：y等于y全-y神等于-0.2x+50.

当y>0时,即-0.2x+50>0,所以x<250；

当y等于0时,即-0.2x+50等于0,所以x等于250；

当y<0时,即-0.2x+50<0,所以x>250.

答：当0≤x<250分时,选择“神州行”较为省钱；当x=250分时,“神州行”和“全球通”一样；当x>250分时,选择“全球通”较为省钱.

设计意图对同一问题多种解法的思考,意在激发学生的学习兴趣,开拓学生思路,培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神.对解法的形象命名：代数法、图解法又有利于学生记忆方法,掌握方法.

师：同学们的回答非常漂亮,不仅解决了老师的犹豫,而且还给出了四种方案,可惜就是晚了十年.那么,为了使顾客们能够毫不犹豫的选择套餐,同学们对电信公司有什么好的建议吗?

生：在计费方案旁边配上函数图像和文字说明,用数形结合的方式告诉顾客选择最优方案的方法.

师：非常好,对此老师也有一首小诗要送给大家：生活之中常比较,选择较优很需要；列出函数画图象,数形结合显功效.

设计意图学生对电信公司的建议,可让学生感觉到数学的有用性,生活中处处都有数学,提高学生用数学的意识.教师归纳小诗,可让学生感受到数形结合思想在数学解题中的重要地位.

二、推陈出新,深化课题

师：又是一年圣诞,老师听说中国电信在搞活动,又推出了两款新的套餐,很划算,于是又去看了看等

电信营业员说：我公司对手机话费推出了两款新的套餐：

A套餐B套餐每月基本服务费30元50元每月免费通话时间120分200分超出后每分收费0.4元0.4元请问您需要哪一款套餐?

设计意图圣诞穿梭于课堂的始终,让学生时刻感受节日的氛围,时刻保持活跃的思维.套餐的变更既是知识的巩固又是知识的拓展,它激发了学生思考的,引导着学生对新问题的自主思考.

师：电信公司犯的还是老毛病,数缺形时少直观,我该选择哪种套餐?（学生众说纷纭）怎么设未知数?利用什么方法解决?代数法还是图解法?

（先学生自主思考尝试解决,再教师投影展示成果,并对注意点进行强调）

解法一：设每月通话时间为x分,A,B两种套餐每月话费分别为yA元,yB元,则yA等于30（0≤x≤120）

0.4x-18（x>120）yB等于50（0≤x≤200）

0.4x-30（x>200）图3

在同一坐标系中画出图象（如图3）,

观察图象得：

当0≤x<170时,yA

当x等于170时,yA等于yB,两种套餐可任选一种；

当x>170时,yA>yB,应选择B套餐.

师：这里的yA、yB叫做分段函数,注意画分段函数的图像要根据自变量的取值范围.这种求最省话费的方法,我们可以把它叫做什么法?

生：图解法.

师：你还有其他方法吗?

生：代数法.

师：试试看.

（先学生自主思考尝试解决,再教师投影展示成果,并对注意点进行强调）

解法二：设每月通话时间为x分,A,B两种套餐每月话费分别为yA元,yB元,

则yA等于30（0≤x≤120）

0.4x-18（x>120）

yB等于50（0≤x≤200）

0.4x-30（x>200）

当0≤x≤120时；yA等于30,yB等于50,选择A套餐；

当120

令yA

令yA等于yB,即0.4x-18等于50,x等于170,所以当x等于170时,两种套餐可任选；

令yA>yB,即0.4x-18>50,x>170,所以当170

当x>200时；yA等于0.4x-18,yB等于0.4x-30,yA>yB,选择B套餐；

综上所述,当0≤x<170时,应选择A套餐；当x=170时,两种套餐可任选一种；当x>170时,应选择B套餐.

师：只要思路清晰,本题也可用代数法来解决,只是在分类讨论时应先划分清楚自变量的取值范围.针对本题,两种方法哪种更简便?

生：图解法.

师：所以当一个题目有多种方法可以选择时,我们也要象本节课的课题一样,选择较优方法.因为它能让我们省时间,少犯错.

设计意图本题为本课题的核心,对本题进行多解法思考可以开拓学生思路,培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神.本题的两种解法让学生自主探索既是对前面知识的巩固和拓展,又可以检查学生知识的掌握情况,便于教师有的放矢的教学.在两种解法得出后,对解法优劣的判断又可以帮助学生选择较优解法.

师：现在的老师享受着老套餐,又渴望着新套餐,心中的问题仍没有解决,面对新套餐,同学们,你们说老师的套餐是换还是不换?

观察图象得：

当0≤x<50分时,选“神州行”；

当x等于50分时,选“神州行”和“A套餐”均可；

当50

当x等于170分时,选“A套餐”和“B套餐”均可；

当x>170分时,选“B套餐”.

师：同学们真是太棒了,现在老师可以毫不犹豫的去选择套餐了.

设计意图在学生对新套餐的较优选择问题提出两种解决方案后,教师进一步提出自己的手机套餐“换还是不换”将课堂推向了,小组合作交流,又能在生生之间擦出智慧的火花,实现生生间的互助,让更多的同学掌握较优方案的选择方式.

三、小结反思,升华课题

师：老师的套餐有着落了,那么同学们在帮助老师选择套餐的同时是否也收获了一些知识?接下去,我们一起来共享收获.

（学生各抒己见）

师：这节课我们解决了一个问题：选择较优方案的问题；得出了两种方法：代数法和图解法；渗透了多种思想：数学建模思想、函数的思想、方程不等式的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想等

设计意图学生总结收获,可培养学生及时小结反思的习惯,也有利于学生理清思路,整理经验.教师在学生总结的基础上进一步小结内容,可提纲挈领,提升课堂品味.

四、拓展领域,巩固课题

师：选择较优方案问题不仅在话费问题中出现,在其他很多领域中都有所涉及.本节课

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