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收稿日期：2013-05-13
基金项目：2012年湖北省高等学校省级教学研究项目（2012237）；三峡大学弹性力学精品课程建设项目
作者简介：刘章军（1973-）,男,三峡大学水利与环境学院工程力学系教授,博士,主要从事工程力学研究,（E-mail）liuzhangjun73@aliyun..
摘 要：在弹性力学的本科教学中,采用了矩阵形式来表达各物理量间的相互关系.文中主要讨论了以应力、应变、位移为基本量的各物理量间的矩阵表达形式,包括基本方程、边界条件以及不同坐标间的基本物理量的转换关系.采用矩阵表达形式不仅书写简洁、记忆容易,而且表现直观、便于理解.
关 键 词：弹性力学；本科教学；矩阵表达形式
中图分类号：G642；TB125文献标志码：A文章编号：10052909（2013）05006605在现行的弹性力学本科教材[1]中,各物理量间的相互关系主要采用展开形式的教学方式,这种展开的表达形式书写较为复杂且记忆困难,各物理量间的关系不能直观表现.虽然采用张量的指标记法可以达到书写简洁的目的[2],但对于初学者理解较为困难.为此,在弹性力学的本科教学中,采用矩阵表达是一种较为合适的形式.采用矩阵表达形式具有书写简洁、记忆容易,同时也便于与数值解法（如有限单元法）相衔接.
为检验矩阵表达形式在弹性力学本科教学中的效果,笔者曾在2年4个学期的教学中进行了矩阵表达形式与展开形式的对比实践,学生普遍认为矩阵表达形式简洁易懂、便于记忆.对于普通大学本科生而言,矩阵表达是一种较为理想的教学形式.为此,文章简要介绍在弹性力学本科教学中采用的矩阵形式表达.
一、弹性力学问题中物理量间的相互关系
在大学本科教材中,一般采用弹性力学问题的微分提法[3],即从研究弹性体内的微元入手,导出描述微元静力平衡、变形几何及物理关系的一组基本方程,加上相应的边界条件,把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题.图1给出了弹性力学中各物理量间的相互关系,包括基本方程和边界条件.
二、以应力为基础的物理量间的矩阵表达
在直角坐标系x,y,z下,应力分量σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz,体力分量fx,fy,fz,面力分量x,y,z,全应力在坐标轴上的投影px,py,pz,外法线的方向余弦l,m,n；在柱坐标ρ,φ,z下,应力分量σρ,σφ,σz,τρφ,τρz,τφz,体力分量fρ,fφ,fz.为简便之,记：
图1物理量间的相互关系
高等建筑教育2013年第22卷第5期
刘章军,等弹性力学本科教学中的矩阵表达形式
下面,给出以应力为基础的各物理量间的矩阵表达形式.
(一)平衡微分方程的矩阵表达
在直角坐标系中,平衡微分方程的矩阵表达形式为：
σ（1）（1）+f（1）等于0（1）
这里,记号约定：σx×x等于σxx,τxy×y等于τxyy,τxz×z等于τxzz,依此类推.式（1）表明了应力状态随坐标的变化规律,即应力对坐标的一阶导数与体力所满足的平衡关系式.类似地,在柱坐标系中的平衡微分方程可写为：
σ（2）（2）+f（2）+e（2）等于0（2）
这里,记号约定：σρ×ρ等于σρρ,τρφ×1ρφ等于1ρτρφφ,τρz×z等于τρzz,依此类推.在式（2）中,增加的e（2）项是由于柱坐标系中φ的正面和负面不平行,以及ρ的正面和负面面积不等所引起的.
对于弹性力学平面问题,只需在式（1）和式（2）中分别去掉与z相关的所有元素,即可得到平面问题的直角坐标和极坐标中的平衡微分方程.
对于空间轴对称问题,由于对称性,有τρφ等于τφz等于0,其他4个应力分量σρ,σφ,σz,τρz一般都是ρ和z的函数.因此,将式（2）中矩阵σ（2）的第二行和第二列去掉,同时将所有列向量的第二行去掉,得到空间轴对称问题的平衡微分方程：
(二)斜截面应力的矩阵表达
已知某点的应力张量或应力矩阵σ后,此点的应力状态就被确定了.于是,过此点任意斜截面上的全应力在笛卡尔坐标轴上的投影可写为：
p（1）等于σ（1）l（1）（4）
若将斜截面看作物体的边界面,且给定面力（1）,即可得到应力边界条件：
（1）等于σ（1）l（1）（5）
同时,斜截面上的正应力的矩阵表达式为：
σn等于l（1）Tp（1）等于l（1）Tσ（1）l（1）（6）
(三)主应力和主方向的矩阵表达
由于应力张量或矩阵σ是一个实对称的3×3阶方阵,因此,它的三个特征值都是实数,同时存在三个相互正交的特征向量.事实上,对于给定的应力张量或矩阵σ,此点的主应力和主方向即为应力矩阵σ的特征值和特征向量：
σ（1）l（1）等于σl（1）（7）
主应力是计算最大正应力和最大剪应力的基础,在工程强度校核中起到重要作用.
(四)应力分量转换公式的矩阵表达
设x,y,z为原坐标系,x′,y′,z′为新坐标系,若令lij等于cosx′i,xj,即x′i轴与xj轴夹角的余弦,对于同一点在不同坐标系下的应力分量转换公式的矩阵表达式为：
σ′等于βσ（1）βT（8）
其中,新坐标系的应力矩阵σ′和转换矩阵β分别为：
σ′等于σ′xτ′xyτ′xz
τ′xyσ′yτ′yz
τ′xzτ′yzσ′z,
β等于l11l12l13
l21l22l23
l31l32l33
特别地,对于直角坐标与柱坐标中的应力转换公式为：σ（2）等于βσ（1）βT（9）
其中,转换矩阵变为：
β等于cosφsinφ0
-sinφcosφ0
001
对于平面问题,直角坐标与极坐标中的应力分量转换关系则为：
σρτρφ
τρφσφ等于
cosφsinφ
-sinφcosφσxτxy
τxyσycosφsinφ
-sinφcosφT（10）
三、以应变和位移为基础的物理量间的矩阵表达
在直角坐标系x,y,z下,应变分量εx,εy,εz,γxy,γxz,γyz,位移分量u,v,w,给定的位移边界分量,,；在柱坐标ρ,φ,z下,应变分量ερ,εφ,εz,γρφ,γρz,γφz,位移分量uρ,uφ,uz.为简便之,记：
几何方程的矩阵表达在直角坐标中,几何方程的矩阵表达形式为：
ε（1）等于12u（1）{}（1）T+（1）u（1）T（11）
这里,记号约定：u×x等于x×u等于ux,u×y等于y×u等于uy,u×z等于z×u等于uz,依此类推.
在柱坐标中,几何方程的矩阵表达则为：
ε（2）等于12u（2）（2）T+（2）u（2）T+δ（2）（12）
其中,矩阵δ（2）为增加部分.同样地,记号约定：uρ×ρ等于ρ×uρ等于uρρ,uρ×1ρφ等于1ρφ×uρ等于1ρuρφ,uρ×z等于z×uρ等于uρz,依此类推.
显然,在式（12）中去掉所有与z坐标相关的元素,即可得到平面极坐标中的几何方程：
εργρφ2
γρφ2εφ等于12uρ
uφρ1ρφ+
ρ
1ρφuρuφ+
0-uφρ
-uφρuρρ（13）
主应变和主方向的矩阵表达应变矩阵ε与应力矩阵σ一样都是3×3阶的实对称方阵,它们具有完全类似的性质.与主应力和应力主向的矩阵表达类似,主应变和应变主向的矩阵表达可写为：
ε（1）l（1）等于εl（1）（14）
对于理想弹性体,应力主向与应变主向重合,因此可统称为主方向.
位移边界条件的矩阵表达在直角坐标中,位移边界条件的矩阵表达式为：
u（1）Su等于（1）（15）
位移、应变转换关系的矩阵表达直角坐标和柱坐标中的位移分量转换关系：
uρ
uφ
uz等于cosφsinφ0
-sinφcosφ0
001u
v
w（16）
特别地,平面直角坐标与极坐标的位移分量转换公式为：
uρ
uφ等于cosφsinφ
-sinφcosφu
v（17）
把uρ,uφ和u,v分别替换成fρ,fφ和fx,fy,即为体力分量的转换关系.
与应力转换公式类似,平面直角坐标与极坐标的应变分量转换公式为：
ερερφ
ερφεφ等于cosφsinφ
-sinφcosφεxεxy
εxyεy×
cosφsinφ
-sinφcosφT（18）
四、物理方程的矩阵表达
在物理方程的矩阵表达中,一般将应力分量和应变分量写成列向量的形式,即σ等于σxσyσzτxyτxzτyzT,ε等于εxεyεzγxyγxzγyzT.下面,仅以各向同性线弹性材料为例给出物理方程的矩阵表达形式：
ε等于Dσ（19）
其中,矩阵D称为弹性柔度矩阵：
D等于1E1-μ-μ000
-μ1-μ000
-μ-μ1000
0002（1+μ）00
00002（1+μ）0
000002（1+μ）
由于柱坐标系和直角坐标系一样都为正交坐标系,对于各向同性弹性体,柱坐标系中的物理方程与直角坐标系中的物理方程具有同样的形式（弹性柔度矩阵D完全相同）,只需将应力分量和应变分量中的下角码x和y分别换成ρ和φ即可.
对于平面应力情况,仅需在式（19）中考虑σz等于τxz等于τyz等于0,即可退化为平面应力问题的物理方程：
εx
εy
γxy等于1E1-μ0
-μ10
002（1+μ）σx
σy
τxy（20）
在平面应力情况下,应变分量εz等于-μE（σx+σy）等于-μ1-μ（εx+εy）,而应变分量γxz等于γyz等于0.对于平面应变情况（εz等于γxz等于γyz等于0）,则需将式（20）中的弹性模量E换成E/（1-μ2）,泊松比μ换成μ/（1-μ）,同时应力分量σz等于μ（σx+σy）,τxz等于τyz等于0.
五、结语
在弹性力学的本科教学中,采用矩阵形式表达各物理量间的相互关系,既书写简洁,容易记忆,又可将已学的线性代数知识运用于弹性力学教学中,并为后续的有限单元法教学打下伏笔.教学实践表明,在弹性力学本科教学中采用矩阵形式表达可以获得良好的教学效果,对于普通院校的本科生而言,矩阵表达是一种较为合适的教学形式.