高三数学模拟试卷(四)

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一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共计70分.

1.复数z等于(1+3i)i(i是虚数单位),则z的实部是.

2.已知集合A等于{x|-1≤x≤2},B等于{x|x<1},则A∩(

瘙綂RB)等于.

3.在学生人数比例为2∶3∶5的A,B,C三所学校中,用分层抽样方法招募n名志愿者,若在A学校恰好选出了6名志愿者,那么n等于.

4.已知直线l1:ax-y+2a+1等于0和l2:2x-(a-1)y+2等于0(a∈R),则l1⊥l2的充要条件是a等于.

5.若θ∈(π4,π2),且sin2θ等于116,则cosθ-sinθ的值是.

6.设a,b,c是单位向量,且a等于b+c,则向量a,b的夹角等于.

7.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是31,则判断框中的整数M的值是.

8.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为.

9.由正数构成的等比数列{an},若a1a3+a2a4+2a2a3等于49,则a2+a3等于.

10.双曲线x2a2-y2b2等于1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是.

11.已知函数f(x)等于mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y等于0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是.

12.若对任意x,y∈[1,2],xy等于2,总有不等式2—x≥a4-y成立,则实数a的取值范围是.

13.在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanCtanA+tanCtanB等于1,则a2+b2c2等于.

14.设m,k为正整数,方程mx2-2kx+2等于0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.

15.(本小题满分14分)

已知函数f(x)等于sin(2x+π6)-cos(2x+π3)+2cos2x.

(1)求f(π12)的值;

(2)求函数f(x)的单调区间及对称中心.

16.(本小题满分14分)

如图,M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.

(1)求证:AN∥平面A1MK;

(2)求证:平面A1B1C⊥平面A1MK.

17.(本小题满分14分)

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间,运输成本由燃料费用和其它费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其它费用为每小时m元,根据市场调研,得知m的波动区间是[1000,1600],且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.

(1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数;

(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

18.(本小题满分16分)

已知抛物线y2等于8x与椭圆x2a2+y2b2等于1有公共焦点F,且椭圆过点D(-2,3).

(1)求椭圆方程;

(2)点A、B是椭圆的上、下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;

(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标;若不经过,说明理由.

19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)等于ax+x2-xlna(a>0,a≠1).


(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

(2)若函数y等于|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;

(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.

20.(本小题满分16分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn等于pan-2n,n∈N*,其中常数p>2.

(1)证明:数列{an+1}为等比数列;

(2)若a2等于3,求数列{an}的通项公式;

(3)对于(2)中数列{an},若数列{bn}满足bn等于log2(an+1)(n∈N*),在bk与bk+1之间插入2k-1(k∈N*)个2,得到一个新的数列{},试问:是否存在正整数m,使得数列{}的前m项的和Tm等于2011?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由.

试题Ⅱ(附加题)

1.(本小题满分10分)

已知二阶矩阵M有特征值λ等于3及对应的一个特征向量e等于11,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M.

2.(本小题满分10分)

在极坐标系中,设O为极点,点P为直线ρcosθ等于1与圆ρ等于2sinθ的切点,求OP的长.

3.(本小题满分10分)

袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张,甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等),并记下卡面数字和为X,然后把卡片放回,叫做一次操作.

(1)求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X);

(2)甲进行四次操作,求至少有两次X不大于E(X)的概率.4.(本小题满分10分)

对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P(n)

(1)求P(3),P(4),P(5);(2)求P(n).

填空题

1.-3;2.{x|1≤x≤2};3.30;4.13;

5.-154;6.π3;7.4;8.0.3;9.7;

10.(1,5)11.[-2,-1]12.(-∞,2]13.3;14.11

解答题

15.(1)f(π12)等于sin(2×π12+π6)-cos(2×π12+π3)+2cos2π12

等于sinπ3-cosπ2+1+cosπ62分

等于32-0+1+32

等于3+16分

(2)∵f(x)等于sin(2x+π6)-cos(2x+π3)+2cos2x

等于sin2xcosπ6+cos2xsinπ6-cos2xcosπ3+sin2xsinπ3+cos2x+110分

等于3sin2x+cos2x+1等于2sin(2x+π6)+1,

12分

增区间[kπ-π3,kπ+π6],减区间[kπ+π6,kπ+2π3],k∈Z.

对称中心(kπ2-π12,1)14分

16.(1)证明:连结NK.

在正方体ABCDA1B1C1D1中,

∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,

∴AA1∥DD1,AA1等于DD1,

C1D1∥CD,C1D1等于CD.

∵N,K分别为CD,C1D1的中点,

∴DN∥D1K,DN等于D1K.∴DD1KN为平行四边形.

∴KN∥DD1,KN等于DD1.∴AA1∥KN,AA1等于KN.∴AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.

∵A1K平面A1MK,AN平面A1MK,

∴AN∥平面A1MK.7分

(2)连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB等于C1D1.

∵M,K分别AB,C1D1中点,∴BM∥C1K,BM等于C1K.

∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.

在正方体ABCDA1B1C1D1中,

A1B1⊥平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,

∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.

∵BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.MK∥BC1,

∴MK⊥B1C.

∵A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C1,A1B1∩B1C等于B1,∴MK⊥平面A1B1C

∵MK平面A1MK,

∴平面A1MK⊥平面A1B1C.14分

17.解:(1)由题意,每小时的燃料费用为0.5x2(0

从甲地到乙地所用的时间为300x小时2分

则从甲地到乙地的运输成本y等于0.5x2·300x+m·300x,(0

即y等于150(x+2mx),(0

(2)y′等于150(1-2mx2)8分

令y′等于0,得x等于2m(负值舍去)

当x∈(0,2m)时,y关于x单调递减

当x∈(2m,+∞)时,y关于x单调递增9分

所以,当2m>50即1250

当2m≤50即1000

综上所述,若1000≤m≤1250,则当货轮航行速度为2m海里/小时时,运输成本最少;若1250

18.(1)F(2,0),则c等于2,又2a2+3a2-4等于1,得a2等于8,b2等于4

∴所求椭圆方程为x28+y24等于14分

(2)M(22,0),⊙M:(x-22)2+y2等于92

直线l斜率不存在时,x等于-2

直线l斜率存在时,设为y-3等于k(x+2)

∴d等于|22k+2k+3|k2+1等于32,解得k等于612

∴直线l为x等于-2或6x-12y-143等于010分

(3)显然,两直线斜率存在,设AP:y等于kx+2

代入椭圆方程,得(1+2k2)x2+8kx等于0,解得点

P(-8k1+2k2,2-4k21+2k2)12分

同理得Q(8kk2+2,2k2-4k2+2)

直线PQ:y-2-4k21+2k2等于k2-13k(x--8k1+2k2)

14分

令x等于0,得y等于-23,∴直线PQ过定点(0,-23)16分

19.解:(1)f′(x)等于axlna+2x-lna等于2x+(ax-1)lna.3分

由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,

故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.5分

(2)当a>0,a≠1时,因为f′(0)等于0,且f′(x)在R上单调递增,

故f′(x)等于0有唯一解x等于0.7分所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:

x(-∞,0)0(0,+∞)

f′(x)-0+

f(x)递减极小值递增

又函数y等于|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)等于t±1有三个根,

而t+1>t-1,所以t-1等于(f(x))min等于f(0)等于1,解得t等于2.10分

(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,

所以当x∈[-1,1]时,|(f(x))max-(f(x))min|等于(f(x))max-(f(x))min≥e-1.11分

由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,

所以当x∈[-1,1]时,(f(x))min等于f(0)等于1,

(f(x))max等于max{f(-1),f(1)}.12分

而f(1)-f(-1)等于(a+1-lna)-(1a+1+lna)等于a-1a-2lna,

记g(t)等于t-1t-2lnt(t>0),因为g′(t)等于1+1t2-2t等于(1t-1)2≥0(当t等于1时取等号),

所以g(t)等于t-1t-2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增.

而g(1)等于0,故当t>1时,g(t)>0;当01时,f(1)>f(-1);

当0①当a>1时,由f(1)-f(0)≥e-1a-lna≥e-1a≥e;

②当0综上可知,所求a的取值范围为a∈(0,1e]∪[e,+∞).16分

20.解:(1)∵2Sn等于pan-2n,∴2Sn+1等于pan+1-2(n+1),∴2an+1等于pan+1-pan-2,

∴an+1等于pp-2an+2p-2,∴an+1+1等于pp-2(an+1),4分

∵2a1等于pa1-2,∴a1等于pp-2>0,∴a1+1>0

∴an+1+1an+1等于pp-2≠0,∴数列{an+1}为等比数列.

(2)由(1)知a1+1等于(pp-2)n

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,∴an等于(pp-2)n-18分

又∵a2等于3,∴(pp-2)2-1等于3,∴p等于4,∴an等于2n-110分

(3)由(2)得bn等于log22n,即bn等于n,(n∈N*),

数列{Cn}中,bk(含bk项)前的所有项的和是:

(1+2+3+等+k)+(20+21+22+等+2k-2)×2等于k(k+1)2+2k-212分

当k等于10时,其和是55+210-2等于1077<2011

当k等于11时,其和是66+211-2等于2012>2011

又因为2011-1077等于934等于467×2,是2的倍数

14分

所以当m等于10+(1+2+22+等+28)+467等于988时,Tm等于2011,

所以存在m等于988使得Tm等于201116分

附加题

1.解:设M等于abcd,则abcd11等于311等于33,故a+b等于3,c+d等于3.4分

abcd-12等于915,故-a+2b等于9,-c+2d等于15.7分

联立以上两方程组解得a等于-1,b等于4,c等于-3,d等于6,故M等于-14-36.10分

2.解:将直线ρcosθ等于1化为直角坐标方程得x等于1,

将圆ρ等于2sinθ化为直角坐标方程得x2+(y-1)2等于1,

易得切点P的坐标为(1,1),

所以OP等于2.

3.解:(1)由题设知,X可能的取值为:3,4,5,6,7.

随机变量X的概率分布为

X34567

P1616131616

3分

因此X的数学期望E(X)等于(3+4+6+7)×16+5×13等于5.5分

(2)记“一次操作所计分数X不大于E(X)”的事件记为C,则

P(C)等于P(“X等于3”或“X等于4”或“X等于5”)等于16+16+13等于23.7分

设四次操作中事件C发生次数为Y,则Y~B(4,23)

则所求事件的概率为P(Y≥2)等于1-C14×23×(13)3-C04×(13)4等于89.10分

4.解:(1)P(3)等于6,P(4)等于18,P(5)等于30;3分

(2)设不同的染色法有Pn种.

当n≥4时,首先,对于边a1,有3种不同的染法,由于边a2的颜色与边a1的颜色不同,所以,对边a2有2种不同的染法,类似地,对边a3,等,边an-1均有2种染法.对于边an,用与边an-1不同的2种颜色染色,但是,这样也包括了它与边a1颜色相同的情况,而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1,于是可得

Pn等于3×2n-1-Pn-1,Pn-2n等于-(Pn-1-2n-1).

于是Pn-2n等于(-1)n-3(P3-23)等于(-1)n-2·2,Pn等于2n+(-1)n·2,n≥3.

综上所述,不同的染色方法数为Pn等于2n+(-1)n·2,n≥3.

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