欧式看跌期权价格的计算方法:计算机模拟与比较

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摘 要:根据在实际金融市场中的例子,本文计算了其在Black-choles方程下的欧式看跌期权的价格,给出了MonteCarlo随机模拟方法计算该期权的价格,通过计算机模拟程序给出结果.随后,又给出有限差分定价法显示法计算了该期权价格.最终,对几种计算方法进行了优劣比较与改进.

关 键 词:欧式看跌期权,Black-choles公式,MonteCarlo随机模拟,有限差分定价法,计算方法比较

一、Black-choles计算公式下的欧式看跌期权

通过假设股票价格的对数随机过程并构造出包含期权和标的资产的对冲组合,我们得到欧式看跌期权定价公式:

P等于PV*N-d2-*N-d),[Y])

其中d等于[X]In/PV)σ[)][X]+

[X]σ[)]2[X],

d2等于d-σ[)],[Y]2)

PV等于e-r,[Y]3)

P为看跌期权的价格,r为时期的无风险利率连续复利,为股票的现在价格,为到期的时间单位:年,为执行价,PV为执行价格的现值,δ为股票收益的年标准方差.N*为标准正态变量的概率分布函数.

2具体实例:

已知股票价格为等于00元,股票收益的年标准方差σ等于0.5,无风险利率连续复利r为4%,期权执行价格为95元,到期的时间单位:年为0.5年,试计算该股票的欧式看跌期权价格.

由上面的B-公式立即可得该期权价格为0.3798元.

二、MONE-CARO方法模拟期权定价

如果标的资产服从几何布朗运动

ds等于udt+σdw[Y]4)

那么风险中性定价的关键在于寻找风险中性测度,对于几何布朗运动,可以证明风险中性测度下,标的资产运动过程如下:

等于0exp[r-σ∧2/2)*+σ[)]ε][Y]5)

对于欧式看跌期权,到期日看跌期权流如下:

max{0,-0)er-σ∧2/2)*+σt[)]ε}[Y]6)

其中,是执行价,r是无风险利率,σ是标准差,ε是正态分布的随机变量.

对到期日的流进行无风险利率贴现,就可以知道期权的价格.

2期权定价的计算机模拟程序

我们使用MAAB2009A进行模拟,有如下模拟程序:

functionPut等于MonteCarlo,,r,,sigma,Nu)

randn‘seed’,0),

nu等于r-0.5*sigma^2)*,

sit等于sigma*sqrt),

discpayoff等于exp-r*)*max0,-*expnu+sit*randnNu,))-,

[eucall,var,ci]等于normfitdiscpayoff)

这里,是股票价格,是执行价,r是无风险利率,sigma是股票波动的标准差,是到期时间,Nu是模拟的次数,eucall是欧式看跌期权的价格,var是模拟期权价格的方差,ci是95%的置信区间.

3该具体例子的应用.

我们调用子程序可得欧式看跌期权的价格.

MonteCarlo00,95,0.04,0.5,0.5,000)

我们得到:eucall等于.483

var等于4.583

ci等于0.2435

2.053

从上面的结果可看到,MONECARO模拟得到的期权价格为.483元,样本正态拟合的方差为4.583元,95%的置信区间为[0.2435,2.053],模拟波动区间是很大的.

三、有限差分法显示差分法的欧式看跌期权定价

假设fi,j表示在i时刻股票价格为第j价位的期权价格,对f一阶导数进行如下差分:

[X]f[X]等于[X]fi,j+-fi,jδ[X][Y]7)

[X]ft[X]等于[X]fi+,j-fi,jδt[X][Y]8)

对二阶微分方程,用如下方法进行差分:

[X]2f2[X]等于[X]fi,j+-fi,jδ[X]-[X]fi,j-fi,j-δ[X])/δ[Y]9)

整理得:

[X]2f2[X]等于[X]fi,j+-fi,j--2fi,jδ2[X][Y]0)

代入B-公式

[X]ft[X]t,s)+[X]2[X]σ2s2[X]2fs2[X]t,s)-rft,s)+rt,s)等于0,0≤t≤并整理得

fi,j等于aj*fi,j-+bj*fi,j+cj*fi,j+

i等于0,,2等N-,j等于,2,3等m-,[Y]3)

其中

a*j等于[X]2[X]δtσ2j2-rj)[Y]4)

b*j等于-δtσ2j2+rj)[Y]5)

c*j等于[X]2[X]δtσ2j2+rj)[Y]6)

将3式写成矩阵形式

fN-,m-

fN-,m-2

fN-,m-3

等

fN-,2

fN-,

c*M-b*M-a*M-0等0

0c*M-2b*M-2a*M-2等0

00cM-3b*M-3a*M-30

000c*M-4b*M-4a*M-4

等等等

000c*

fN,M-

fN,M-2

fN,M-3

等

fN,

fN,0

对于欧式看跌期权,其终值条件如下:

f,)等于max{-,0},对任意>0,

考虑欧式看跌期权的边界条件,当股票价格非常大时,看跌期权到期日价值为0,

ft,max)等于0,当t等于0时,那么到期日支付价值为,贴现到t期有ft,0)等于e-r-t),

边界条件可以写成如下形式:

fi,M等于0i等于,2等N,[Y]7

fi,0等于e-r-t)i等于0,,2等N,[Y]8

fN,j等于max-jδ,0),j等于0,,2等M,[Y]9

仍用上面的例子,根据以上算法通过MAAB编程模拟得到该股票的欧式看跌期权价格为0.4元.

四、两种计算机模拟方法与B-公式的比较

通过计算机模拟结果,发现误差分别为E有限等于0.4-0.38等于0.03元,误差较小,有限差分法较为精确,

EMONECARO等于.5-0.38等于0.77元,相对有限差分定价法,误差较大,MONECARO法在次数模拟少的情况下不太精确,

2我们对MONECARO方法进行改进,增加模拟次数至0000次,得结果如下:

MonteCarlo00,95,0.04,0.5,0.5,0000)

eucall等于0.4274

var等于4.3747

ci等于0.3383

0.565

此时,EMONECARO等于0.42-0.38等于0.04元可以发现随着模拟次数增多,模拟值与公式值越接近,越来越准确.