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摘 要 ：Lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程.本文从气象学和解的稳定性两方面对Lorenz模型进行概述,然后对此模型作了数值分析,基于稳定性讨论了程序设计并用MATLAB语言编写程序进行了求解,对数值解在图形上进行了描绘,最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析.
关 键 词 ：Lorenz模型 数值解 收敛性 稳定性
第一章 Lorenz模型概述
本文要研究的Lorenz方程形式如下：
其中参数a等于10,b等于,c等于28,初值条件为.
当时,原点是Lorenz方程的唯一平衡点.取李雅普诺夫函数
,
容易验证
,
因定正、定负,原点是渐进稳定的.Lorenz方程的所有轨迹均趋于原点.
当时,原点仍是Lorenz方程的唯一平衡点.但,,,出现叉式分支,原点不稳定.
而当时,原点不稳定.且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（,,）,（,,）,对称于轴.对此两平衡点,考虑在平衡点处线性化Lorenz方程,可求得特征方程为.
因,特征方程系数均大于0,实特征根必为负根.知平衡点,渐近稳定的条件是,或,,其中.
当时,,特征方程有一对共轭纯虚根,出现分支；当时,特征方程除一负根外有一对共轭复特征根,其实部为正,对空间线性微分方程,这种空间平衡点为鞍焦点,空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状.
固定a等于10,b等于进行讨论,易知此时等于24.7368.当时,Lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时,存在原点和平面上三个平衡点.当时,平衡点是稳定的；当时,平衡点不稳定,属鞍焦点.因为此时等于28,所以平衡点不稳定,属鞍焦点.
取参数的不同值,我们可以通过数值解画出Lorenz方程在相空间的轨迹图貌.当时,由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点,；在处,出现同宿轨；当时,出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点,并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时,由于两平衡点,属鞍焦点,相空间中的轨线更为复杂.对大的参数值,Lorenz方程的解往往是周期的,具体轨迹图貌我们可以从文献[2]中看到.
第二章 用数值解法来求解Lorenz模型
Lorenz方程为
其中a>0,b>0.
Lorenz方程是一个三变量的常微分方程组,令a(y-x)等于0,-xz+cx-y等于0,xy-bz等于0得到方程的平衡点：
O（0,0,0）,（,,）,（,,）
取a等于10,b等于28,c等于得到三个平衡点：O（0,0,0）,（,,27）,（,,27）.
在平衡点O（0,0,0）,将方程（2.1.1）线性化,其雅可比矩阵为
,
令可以得到对应的平衡点O（0,0,0）的特征值为
等于-22.8277,等于11.8277,等于-2.6667,
可知以上的是正实数,,是负实数,所以O（0,0,0）是鞍点.易知平衡点O（0,0,0）是不稳定点.
对于平衡点（,,27）,将方程（2.1.1）线性化,其雅可比矩阵为
,
令可以得到对应的平衡点（,,27）的特征值为
等于-13.8546,等于0.094+10.1945 ,等于0.094-10.1945 ,
这里是负实数,,是一对具有正实部的共轭复数,因此是鞍式焦点,所以平衡点也是不稳定点.
对于平衡点（,,27）,将方程（2.1.1）线性化,其雅可比矩阵为
,
令可以得到对应的平衡点（,,27）的特征值为
等于-13.8546,等于0.094+10.1945 ,等于0.094-10.1945 ,
这里是负实数,,是一对具有正实部的共轭复数,因此是鞍式焦点,所以平衡点也是不稳定点.
通过以上的分析我们可以知道,Lorenz方程的平衡点都是鞍式焦结点.
总结
本文从描述混沌现象第一例的有名的Lorenz方程出发,引出了气象学的背景知识,指出了气象学发展所取得的一系列成就.通过用数值解法来对Lorenz方程进行求解并在计算机上模拟,发现此方程具有极丰富的分支和混沌性态.又讨论了数值解的稳定性和收敛性,通过前人的研究成果,得出了龙格-库塔法的优点.龙格-库塔法可以构造高阶精度方法来求解初值问题,因此它一直受到人们的重视,至今仍是实际应用的重要方法.另外只有当龙格-库塔法既收敛又稳定时,公式才有实用价值.此外因为单步法具有收敛性和稳定性,所以我们得出了龙格-库塔法的收敛性和稳定性.