大学物理微积分教学问题

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【摘 要】结合教学过程中体会,总结提出工科大学物理中微积分教学的重点关注点和有效解题模式.

【关 键 词 】大学物理,微积分,教学方法

物理学是自然科学和现代工程技术的基础,是一门培养和提高学生科学素质、科学思维方法和科学研究能力的重要基础课程.与中学物理相比,大学物理的最大变化就是在规律的阐述和计算中出现了大量的微积分语言,作者认为,高等数学和大学物理对于微积分的教学侧重点不同.如何尽快的使学生理解微积分思想,并且熟练的运用微积分方法来分析物理问题是教师教学的重点和难点.

一、微积分在处理物理问题中的核心思维

与中学物理相比,大学物理最大的特点是所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了变量和连续量.利用微积分解决问题本质上是因为物理规律的可加型,如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、磁感应强度等矢量的叠加原理,微积分通过微分-积分方法实现了有限向无限,近似向精确的转化.微积分思想和方法的精髓是：对物理对象取微元后,复杂物理对象变成简单对象,变量可看成常量,非均匀量可看成均匀量,曲面可看成平面,实现了变与不变的辩证转换.

二、大学物理微积分教学关注点

高等数学中有大量知识点和物理问题对应,例如：多重积分可以用于求解刚体的转动惯量,第二类曲线积分对应物理中的变力做功、静电场中电势的计算,第二型曲面积分则对应物理中的流量、电通量和磁通量的计算.但是数学是一门高度抽象的科学,它完全摒弃了具体的现象,具有普适性,而物理研究的是客观物质世界的基本规律,所以解决物理问题的思维方式也并不等同于数学,物理学中的许多微元概念,他们有具体的物理含义,不能简单等同于数学上的微元.要形成独特的用微积分解决物理问题的思维.

(一)注重物理图像,跳出套用公式的思维定式

电通量、磁通量流量等对应高等数学中的第二类曲面积分,数学中对这类问题通常是已知曲面的函数,化为重积分计算,学生感觉数学学会了,会计算一定量的积分题目,但是碰到具体的物理问题还是觉得束手无策,不能达到融会贯通.物理中的电通量和磁通量是由通过与匀强场垂直的平面的通量引入的.并且大学物理教学中的问题是具有某种对称性的,所以从物理意义的角度分析问题更快捷,更有普适性.

(二)自觉用微积分方法分析和解决问题

例如,在高斯定理一节的讲解中,有一个问题是求解均匀带电球面的电场分布,教学中发现“由于电荷分布是球对称的,电场是由电荷产生的,可判断出空间的电场分布必然是球对称的,即与球心O距离相等的球面上各点电场强度大小相等,方向沿半径呈辐射状.”这样的语言并不能使学生 清楚了解电场为什么是这样的分布,学生仍然搞不清楚为什么如此.为解决这个问题,我们以球面外任意一点为例,做过这个点的和球心的直线,我们沿垂直于此直线的方向将球面分割成无数的小圆环,我们知道均匀带点圆环在轴线上某一点的电场方向是沿轴线的,无数小圆环的电场方向都是沿轴线,所以整个球面在P点的电场方向就是沿OP轴线方向的,这样的具体分析使学生更容易接受,同时也锻炼了微积分分析问题的思想.

(三)辨明微分的物理意义

物理中有很多物理量,每个物理量都是为了定量描述某种现象和规律引入的,每个物理量都有明确的物理意义大学物理中的微元分成两种：通常情况某个物理量的微分是和微小的时间段或者微小过程相关的,表示的是一个微小的变化量或微小过程量例,如：位移微元、速度微元、动量增量、元功、微小过程的吸热、磁通量的变化量,如果微分形式是在某固定时刻或状态的,则表示的是一个微小量,例如：计算电通量及磁通量时的dS表示的是一个有方向的面积元,计算动生电动势中出现的dl导线的微小一段,都不涉及时间的改变.

(四)强化注意,形成用微积分解决物理问题的思维习惯

运用微积分思想解决物理问题的一般步骤是：（1）根据问题的特征将物理对象或过程适当分解,选取合适的微元,（2）建立合适坐标系,计算微元的待求物理量,（3）确定上下限,并统一变量,积分求解最终结果.

电流为I的长直载流导线近旁有一与之共面的导体ab,长为l.设导体的a端与长导线相距为d,ab延长线与长导线的夹角为θ,如图所示.导体ab以匀速度v沿电流方向平移.试求ab上的感应电动势.

第一步：根据问题的特征将物理对象或过程适当分解,选取合适的微元

分析：这里产生的电动势是由与导体在磁场中运动,导体中的电子受到洛伦兹力而产生,但是,与导线不同距离处,其磁感应强度是不同的,为解决问题,将复杂的不能直接处理的问题分解为可以处理的问题.我们可以将导线分成无限小的微元dl,因为dl非常小,可认为dl上各点的磁感应强度是匀强磁场,计算其电动势.

第二步：建立合适坐标系,计算微元的待求物理量

v×B的方向根据右手螺旋判断为从右指向左,与dl的夹角是+θ,计算dl上的电动势：

第三步：统一积分变量,确定上下限,做定积分得出结果

深刻理解并熟练应用微积分思想解决问题,可以大大降低学生对物理的畏惧情绪,对于提高大学物理的教学质量有重要意义.