波利亚“怎样解题表”在最值问题中的应用

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乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、数学教育家,在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律)现代研究的先驱.

他在《怎样解题》一书中给出“怎样解题表”通过弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾,四步呈现解题思维的全过程.下面通过武汉市2013年中考数学第16题的解题过程来体会和展现波利亚解题风格.

一、例题

如图1,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE等于DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .

二、解题实践

1.弄清问题

问题1:你要求解的是什么?

(要求解的是线段的最小值)

问题2:你有些什么?

一方面是题目条件中给出正方形边长是2;另一方面(如图2)由∠ABE等于∠DCF等于∠DAG可得∠AHB等于90°.

2.拟定计划

问题3:怎样才能求得DH的取值范围?

(根据三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,能否构造出如图3所示的△DHM,并使DM、HM可求出,则DM-HM

问题4:怎样才能求得DH的最小值?


(如图4当D、H、M三点共线,且点H在点D、点M之间时,DH最小;此时DH等于DM-HM)

3.实现计划

(如图5,取AB中点M,连HM、DM,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出HM等于AB等于1,由勾股定理可求出DM等于等于,则-1

4.回顾

正确检验每一步,看推理是否有效,演算是否准确,再作特殊性检验.如图6,取AB中点M,连DM,在MD上取HM等于AB等于2,则可得DH取最小值为-1的特殊图形.

三、解题方法和思维策略反思

解题方法主要是从结论出发由后往前推成立的充分条件.为了求DH的最小值,只需求DM、HM的值.为了求DM、HM的值只需找到点M.最后通过特殊图形验证结论.在思维策略上,首先是一般性解决(策略水平上的解决),即构造△DHM就明确了解题的总体方向;其次是功能性解决(方法水平的解决),即如何找点M、如何求DM、HM;最后是特殊性解决(技能水平的解决),即求出了DH的取值范围,如何明确DH的最小值.

四、应用推广

1.如图7,正△ABC的边长为2,点C在第一象限,A、B两点在x、y轴正半轴上滑动,求线段OC的最大值.

分析:如图8,取AB中点D,连CD、OD,易求CD、OD的值,则OC

2.如图9,∠MON等于90°,在Rt△ACB中,顶点A、B分别在OM、ON上运动,若AB等于2,BC等于1,在运动过程中求线段OC的最大值.

分析:如图10,取AB中点D,连CD、OD,易求CD、OD的值,则OC

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