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摘 要：就讲透基本概念、引导学生发现学科的不足及类比教学说明了如何在高等数学授课中培养学生的科研能力.
关 键 词 ：高等数学 教学法 创新
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0034-01
科研能力和科研成果标志着一个国家的科技水平,培养具有创新意识和科研能力的人才是高等院校所面临和必须解决的实际问题,然而科研能力的培养并非要从研究生阶段才开始着重培养,在本科阶段的教学中给学生尽早接触科研的机会,让学生从本科阶段开始培养一种标新立异提问题的习惯至关重要.而对本科生科研能力的培养最主要的途径就是在对其传授知识的过程中完成的.高等数学作为高等院校各院系一门重要的公共基础课之一对学生在四年大学生活中扮演着重要的角色,高等数学中微积分的创立、一元微积分到多元微积分的发展以及各个重要概念的产生无不透露出数学家发现问题和解决问题的思路,如果能够从中进行引导,找到适合的切入点,逐步在学习过程中让学生积累素材并培养一种问“好”问题的习惯,本科学生一样可以接触科研.
培养学生的科研能力,最重要的是培养学生发觉问题的能力,而这首先要求学生改变以往的学习模式,即由被动的接受到主动的思考创造的学习模式的转变,这种学习模式的转变进而要求教师授课模式的转变.本文就讲透基本概念,引导学生发现学科的不足及类比教学等几方面来谈谈如何引导学生转变学习模式,进而培养学生的科研能力.
1.讲透基本概念
数学中最重要的就是基本概念,基本概念把握不透到头来学生可能只会做部分简单的习题.事实上,高等数学授课的主要目的并非让学生学会如何计算导数和微分,更多的是该让学生把握数学思想,深刻理解数学概念.深刻理解概念即要把握概念的本质.以极限概念为例,怎么理解数列,如果只是按照书上的定义把语言写出来还远远不够,应该告诉学生极限最本质的东西就是用距离去刻画,即数列和某个定点的距离当时无限接近.知道了这一点,平面上一个点列的概念自然就有了,同样我们用点列和点的距离当时无限接近去刻画.只是需要注意的一点的是,平面上两点间的距离不能再用绝对值了,而是用
进而到维空间中乃至无穷维空间中如何定义点列收敛我们都可以知道,关键是距离起着重要作用.再以函数可微概念为例,很多学生只知道,至于为什么求微分,以及什么是可微函数不知道.这些就需要老师在讲授这个基本概念的时候介绍清楚,让学生搞透这个概念.事实上,一个函数是不是可微就是看这个函数的增量与其自变量的增量是否可成一个线性比例关系,即是否成立,知道了这一点,可以立即让学生去思考如果是一个二元函数是否可微该如何定义?按照上面的说法,二元函数的增量和其自变量的增量是否成线性比例关系,二元函数的变量是两个,即看是否成立?同样多元函数的可微性乃至一个泛函的可微性理解起来都很简单了.搞透数学中的基本概念这是让学生能够不断思考并发现问题的前提.
2.引导学生发现学科的不足
无论哪门学科之所以产生、发展,往往源于人们对已有相关学科的不满以及该学科创立时的不完善.作为教师,应当更多地呈现给学生所讲学科的不足及存在的问题,这样学生才有思考的余地,把学科的不足及问题隐藏起来而只把学科完美的漂亮的结果展现给学生,那么他们就只会做练习而永远也不会去创作东西.要知道,正是当年微积分的不完善才有了极限的产生.数学就是在不断地发现学科的不足并改进的过程中逐步完善起来的.众所周知,数学史上曾发生过三次数学危机,可每一次危机都没有推翻前人的理论而只是在数学这座漂亮的高楼大厦上添砖加瓦而已,危机使数学更加完善了,危机的产生正是由于学科本身的问题和不足导致的.
当讲完定积分时不能让学生认为定积分是完美无暇的,应该让学生寻找这个概念的不足之处,比如狄利克雷函数,这样简单的函数为何不可积?可能有人认为这是实变函数的内容超出了高等数学的范围,事实上不是这样的.通过让学生寻找定积分的不足可以锻炼学生的一种思维方式,培养学生的创新意识.人人都认为所创造出来的学科是神圣不可侵犯的话就不会有所发展了,这给了学生一种提出质疑的态度,培养了学生问问题的一种习惯,久而久之,学生的科研能力也能加强.另一方面,我们可以告诉学生黎曼积分不是那么完美的,因为还有一种更广泛的积分就是勒贝格积分,告诉学生在微积分之后还有一门后续课程是实变函数,感兴趣的同学会自己去查阅.同时我们可以用形象地数钱地方式告诉学生什么是黎曼积分,什么是勒贝格积分.有一搭钱,我想知道数目是多少,从头开始累加而不管其面值是多少可以得出最后的数目这就是黎曼积分,如果会打理一些,把面值相同的钱先放在一起,5元,10元,100元,再数各面值的有多少张,最后算和这就是勒贝格积分.这样不仅提高了学生的兴趣,加深了他们对概念的理解,也开阔了学生的思维.
3.类比教学
数学中有很多基本概念都是相近的,作好相似、相近或相关概念的归纳比较,展示概念之间的内在联系和本质区别,让学生在比较中学习,从比较中加深理解,从整体上把握所学到的诸多概念,这样既可以学习新知识又可巩固旧知识.以无穷积分与无穷级数为例,从定义来讲,无穷级数与无穷积分的基本概念之间存在离散与连续的对应关系：
,
（前提是极限都存在）.这样很容易得出p级数与有相同的敛散性（这是教材的一个定理）,这样学生能自己去给出这个定理,不仅很快掌握了,而且有着自己发现定理的成就感.
4.结语
高等数学的教学要使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法,而且领会到数学的精神实质和思想,从而在自己所学的领域中不断发现问题并运用其相同或相近的思想解决问题.只有转变了学生从被动接受到主动思考创造的学习模式,才能培养其科研能力.