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【摘 要】这篇论文定义了图的友好标号,图的平衡指数集和图C×P(n≥3,m≥2);主要研究并确定了C×P(n≥3)的边平衡指数集,并且给出相应的图形构造.
【关 键 词】边友好标号;边平衡指数
引言.
设f是图G的边集E(G)上的一个0、1标号,即e∈E(G),定义fe等于0或1,标号为0或1的边集分别记为E(0),E(1),用e(0),e(1)分别来表示此二集合的基数.由f诱导出一个顶点标号f:V(G)→0,1是这样定义的:
引理1:当n为奇数且n≥3时,图C×P(n≥3)的边-平衡指数的最大值为2n.
证明:图C×P的构造(从外向里)我们标记第一圈的n个点依次为:A1,A2,A3,等,An.
第二圈的n个点依次为:B1,B2,B3,等,Bn.
第三圈的n个点依次为:C1,C2,C3,等,Cn.
第四圈的n个点依次为:D1,D2,D3,等,Dn.
每个路P包含4个点A→B→C→D(i等于1,2,3..,n).
不失一般性,我们仅标记C×P(n≥3)图的0-边,剩下的就是1-边.对于C×P(n≥3)图,它有7n边.因为标号f是边友好的,我们需要标记个0-边.
我们标记所有与B(i等于1,2,3..,n-2)相连的边为0-边,共计3n个0-边;并且标记DiDi+1(i等于1,2,3..,n)边为0-边,又有个0-边.
此时,标号为0的顶点与之邻接的4条边都为0-边,而标号为1的顶点与之邻接的0-边有0条或者1条.又因在图C×P(n≥3)中每个顶点与之邻接的边均为4条,所以若把上述构造的图形中任意一条0-边与一条1-边互换,那么顶点v(0)的个数或不变或增加,而顶点v(1)的个数减少,则v(0)与v(1)的差值必减少.
故,此时v(0)与v(1)的差值最大,即:
第一步:DiDi+1CiDi(i等于1,3..,n-1),可以得到这些边-平衡指数2n-1..
第二步:BiCiCi-1Ci(i等于2,4..,n),可以得到边-平衡指数..,n.
第三步:B1C1C1Cn,可以得到边-平衡指数v(0)-v(1)等于n-1
第四步:BiCiCi-1Ci(i等于1,3..,n-1),可以得到边-平衡指数n-2..
第五步:AiBiBiCi(i等于2,4..,n-),可以得到边-平衡指数-1..,1,0
定理2:在图C×P(n≥3)中,当n为偶数时,EBI(C×P)等于{0,1,2,3..,2n}.
定理3:在图C×P(n≥3)中,EBI(C×P)等于{0,1,2,3..,2n}.[科]
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