集合的历程

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摘 要：集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,它的发展历程和数学史上最有争议的人物之一康托尔是联系在一起的.他是集合论的创立者,19世纪末20世纪初德国伟大的数学家.他从事的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和传统的理解.但数学的发展最终证明康托尔是正确的.集合论不仅影响了现代数学,也深深影响了许多方面.

关 键 词：生平　背景　建立　意义

1.康托尔(1846―1918)的生平

1846年3月3日,乔治康托尔生于俄国的一个丹麦―犹太血统的家庭.1856年康托和他的父母迁到德国法兰克福.1863年进入了柏林大学.当时这里正在形成一个数学教学与研究中心.他受到了影响而转到纯粹的数学.1869年他取得在哈勒大学任教的资格,随后升为副教授,在1879年被升为正教授.1874年康托发表了关于无穷集合理论的一篇开创性文章.数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生.在此以后康托研究的主流就放在集合论上,他一直研究到1897年,过度的思维劳累及强列的外界刺激使康托患了精神分裂症.这一难以消除的病根在他后来几十年间―直影响着他的生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学的精神病院中去世.

2.集合论诞生的背景

集合论诞生原因来自现今数学分析这门课程.在18世纪,由于无穷概念没有精确的定义,使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难,还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西(1789―1857)给出了极限概念的精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.19世纪发展起来的极限理论解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但并没有彻底完成微积分的严密化.19世纪后期的数学家们发现产生逻辑矛盾的原因在奠定微积分基础的极限概念上.柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观,只是建立在纯粹严密的算术的基础上.很多数学家致力于分析的严格化.这一过程都涉及到对微积分的基本研究对象――连续函数的描述,涉及关于无限的理论.无限集合在数学上的存在问题又被提出来了.这自然导致寻求无限集合的理论基础工作.它成了集合论产生的一个重要原因.

3.集合论的建立

康托进入柏林大学后,对数论较早产生兴趣,集中精力对高斯留下的问题作了深入的研究.他的毕业论文就是关于素数的问题.然而,他很快接受了数学家海涅(1821―1881)的建议转向了其他领域.海涅鼓励康托研究一个有趣也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一对康托来说这个问题是使他建立集合论的最直接原因.1822年傅立叶(1768―1831)提出了函数可用三角级数表示.此后对于间断点的研究,越来越成为分析领域中引人注目的问题,1870年,海涅证明,如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的,那么级数是唯一的.至于间断点的函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题.他跨出了集合论的第一步.

集合论的难点是无穷集合这个概念本身.这种集合的本质看来是矛盾的,很难象有穷集合那样来把握它.早在16世纪,伽俐略(1564―1642)就注意到了相关的问题.康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段,因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯(1777―1855)明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不允许的,无穷只是一种说话的方式等”.柯西(1789―1857)也不承认无穷集合的存在.对康托来说,如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应,它就是无穷的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生.

康托于1895年和1897年先后发表了两篇有决定意义的论文.他用集合作为基本概念.引进了它们的符号；规定了它们的加法、乘法和乘方等.在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续性假说；另一个是所有超穷基数的可比较性.他虽然认为超穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.―直到1903年罗素(1872―1970)发表了他的著名悖论.集合论的内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点.

4.集合论的意义

集合论是现代数学中重要的基础理论.它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等数学分支以及物理学等一些自然科学领域,为这些学科提供了基础的方法.如果没有集合论的观点,很难对现代数学获得一个深刻的理解.集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义,对现代数学的发展也有深远的影响.

康托一生深受磨难.他及其集合论受到攻击长达十余年.他虽一度对数学失去兴趣,转向哲学、文学,但始终不放弃集合论.康托不顾众多数学家、哲学家的反对,坚定捍卫无穷集合论,与他的科学家气质和性格是分不开的.康托的个性形成很大程度上受他父亲的影响.这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并取得了成功.

今天集合论已成为整个数学大厦的基础,康托也因此成为上世纪之交的最伟大的数学家之一.