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临界和极值问题在高考命题中经常出现.所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态.可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”.至于是“出现”还是“不出现”,需视具体问题而定.极值问题则是在满足一定的条件下,某物理量出现极大值或极小值的情况.临界问题往往是和极值问题联系在一起的.解决此类问题重在形成清晰的物理图景,分析清楚物理过程,从而找出临界条件或达到极值的条件,要特别注意可能出现的多种情况.动力学中的临界和极值是物理中的常见题型,同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题.下面以必修1中的常见的临界问题为例来说明处理临界问题的方法,
运动学中的临界问题
在追及与相遇问题中常常会出现临界现象,分析两物体的运动情况非常重要,仔细审题、挖掘题设中的隐含条件,寻找与“刚好”、“最多”、“至少”等关 键 词对应的临界条件是解题的突破口.速度小的追速度大的两物体速度相等往往出现最大距离,速度大的追速度小的两物体速度相等往往出现最小距离,一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件,解题时正确处理好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键.
例题一、在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0应满足什么条件?
解析：要使两车不相撞,A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等.设A、B两车从相距s到A车追上B车时,A车的位移为sA,末速度为vA,所用时间为t；B车的位移为sB,末速度为vB,两车运动的速度时间图象如图所示,由匀变速直线运动规律有：
对A车有
对B车有
两车有s等于sA-sB
追上时,两车刚好不相撞的临界条件是vA等于vB
以上各式联立解得
故要使两车不相撞,A的初速度v0应满足的条件是：
点评：在追及问题中,当同一时刻两物体在同一位置时,两物体相遇,此时若后面物体的速度大于前面物体的速度即相撞,因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等.若两物体相向运动,当两物体发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇,此时只要有一个物体的速度不为零则为相撞.
牛顿运动定律中的临界问题通常出现在以下三方面：
（1）物体在接触面恰好不发生相对滑动；一般隐含摩擦力为最大静摩擦力.
例1如图所示,质量分别为2m和m的两物体A、B叠放在一起,放在光滑的水平地面上,已知A、B间的最大摩擦力为A物体重力的μ倍,若用水平力分别作用在A或B上,使A、B保持相对静止做加速运动,则作用于A、B上的最大拉力FA与FB之比为多少?
作用在A上,整体分析FA等于a（2m+m）,对B进行分析,f等于ma,f等于2umg
f指的是AB间的摩擦力,当摩擦力为最大摩擦力时B的加速度最大,此时整体加速度也最大FA最大联立上式,可得FA等于6umg
作用在B上,整体分析,FB等于a（2m+m）对A进行分析,f等于2maf等于2umg,f指的是AB间的摩擦力,当摩擦力为最大摩擦力时A的加速度最大,此时整体加速度也最大FB最大联立上式,可得FB等于3umg
所以FA：FB等于2：1
（2）物体恰好脱离某接触面；临界条件为某弹力（支持力）为零,且两物体加速度和速度都相同.
例2一弹簧秤的秤盘质量m等于1.5kg,盘内放一质量为M等于10.5kg的物体P,弹簧质量不计,其劲度系数为k等于800N/m,系统处于静止状态,如图所示.现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初0.2s内F是变化的,在0.2s后是恒定的,求F的最大值和最小值各是多少?（g等于10m/s2）
解析：依题意,0.2s后P离开了托盘,0.2s时托盘支持力恰为零,此时加速度为：
a等于（F大-Mg）/M①
（式中F大为F的最大值）此时m的加速度也为a.
a等于（kx-mg）/m②
所以kx等于m（g+a）③
原来静止时,压缩量设为x0,则：
kx0等于（m+M）g④
而x0-x等于at2/2⑤
由③、④、⑤有：a等于6m/s2⑥
⑥代入①：
Fmax等于168N
F最大值为168N.
刚起动时F为最小,对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得
F小+kx0-（m+M）g等于（m+M）a⑦
④代入⑦有：
Fmin等于（m+M）a等于72N
F最小值为72N.
点评：此题中物块与秤盘刚分离时,二者具有相同的速度与加速度,此时二者间相互作用的弹力为零,在求拉力F的最大值与最小值时要注意弹簧所处的状态,
（3）绳子由张紧变为松弛的临界条件为；绳子伸直但弹力为零.
例3如图,用AB、BC两根细绳把质量为m等于1kg的小球悬挂于车内,当小车向右做水平匀速直线运动时,AB绳与竖直方向的夹角为α等于37°,BC绳与竖直方向的夹角为β等于53°,求：（g等于10m/s2）（1）两细绳的张力大小；（2）当小车以a等于8m/s2的加速度向右水平行驶时,两绳的张力.
（1）对小球进行受力分析,根据平衡条件得：
T2sinβ等于T1sinα,T2cosβ+T1cosα等于mg
解得T1等于8N,T2等于6N.
（2）当小车加速时有可能小球飘起,临界加速度为a0,此时BC绳的张力为零但角度还没发生变化分析过程水平方向T1sinα-T2sinβ等于ma加速度变大T1变大T2变小直到减为零时mgtanα等于ma0,a0等于7.5m/s2,
现a>a0,故小球飘起,BC不受力,
Fsinα′等于ma,Fcosα′等于mg,
tanα′等于0.8,F等于12.8N
答：（1）两细绳的张力大小分别为8N和6N；
（2）当小车以a等于8m/s2的加速度向右水平行驶时,BC绳的张力为零,AB绳的张力为12.8N.
点评：此问题的临界条件是BC绳的张力为零但角度还没发生变化
解决此类问题的方法是抓住满足临界值的条件,同时准确分析物理过程,从受力分析入手,挖掘出现临界问题的原因,列牛顿第二定律方程求解.