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摘 要：本文结合BS期权定价模型和完全信息下的动态博弈理论,构建出基于期权动态博弈理论的一层超额损失再保险的定价模型,该模型既考虑了保险资金的时间价值和风险价值,又结合了动态博弈模型的局中人策略行为分析过程的优势,更好地、更准确地还原了再保险合同签订时合同双方的决策考虑.同时,将这种复杂动态金融条件下的决策求解进行了较大程度的简化,帮助我们在原有的再保险定价模型的基础上发展出对跨领域的思考.
关 键 词 ：超赔再保险；BS期权定价模型；动态博弈
中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1003-9031（2015）03-0009-07 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2015.03.02
一、引言
再保险是指在投保人和保险人所建立的原保险合同的基础上,通过双方签订再保险合同的方式,原保险公司将其所承担的风险转移给再保险公司的过程.原保险公司为再保险合同的分出人,再保险公司为再保险合同的分入人.所以再保险也被称作“保险的保险”,美国保险信息协会的主席罗伯特哈特维格甚至在金融危机后提出“保险公司是比银行更好的风险管理者”的观点,而再保险便是这个风险管理者最后的风险保障.如此重要的风险管理工具如何进行合理的定价成为了一个首要问题,分入的保费既要覆盖再保险人的成本,还需要留出合理的利润空间.
在传统的保险定价中,我们都是基于合同双方是理性人的设定,但是我们在基础的定价原理中看不到决策者双方的决策顺序,这其实是不符合保险在实务操作中的流程的.博弈论的出现有效的解决了这个问题,博弈论是研究多人决策的理论工具,它考虑了理性的行为人在给定的策略环境中如何采取行动以保证自己的效益最大化,并且是建立在考虑决策对手最优决策的前提下的.因此,本文在原有的再保险定价原理的基础上,通过结合期权和博弈论的理论优势对再保险进行定价,制定出符合双方效用最大化的定价方案.
二、研究现状
(一)关于再保险定价模型的研究现状
传统的原保险定价有以下几种方式,包括净保费原理即平衡原理、期望值原理和方差原理等,当然保险定价还有多种原理,但基本是在以上理论的基础上衍生出的.而再保险的定价没有非常统一的公式可以去遵循,典型的再保险定价公式为再保险保费等于（1+附加保费率）×再保险公司分担的理赔额期望值,等同于原保险的期望值原理[1].然而此种定价方式在粗略定价的同时,忽略了资金运作中的很多问题,比如再保险人在收取保费后并不是立即提供保险赔偿,而是在未来存在赔付的可能性,这段期间再保险人可以通过资本市场的运作,达到资金增值保值的目的,此种情况下上式的再保险保费明显被高估.同时随着金融市场的快速发展,保险的外延也在不断扩大,尤其是衍生品市场的崛起,保险有了新的内涵.1995年,美国芝加哥期货交易所正式推出财产索赔服务期权（Property Claim Service Option,简称PCS期权）[2],开创了保险衍生产品的先河,自此人们也越来越多的关注保险的期权性质.
(二)关于期权博弈理论的研究现状
关于期权博弈的研究开创性的工作要归功于1993年Smets,他最先将博弈模型和实物期权结合起来,建立了不确定条件下的对称双寡头期权博弈模型[3].1994年Dixit和Pindyck将Smets 模型进行了总结,分析了不完全竞争情况下的案例[4].近些年国外研究中也出现了将期权博弈理论运用在保险领域的实例,但基本是以定性研究为主.国内许多学者在国外研究的基础上,对期权博弈理论模型进行了深化的研究.在2001年,安瑛晖、张维针对传统企业项目投资估价和决策理论方法中存在的问题,总结归纳出期权博弈方法的一般化分析框架[5].2004年石善冲、张维提出了期权博弈投资战略分析的思路、基本框架和具体分析步骤,并指出了期权博弈领域研究中存在的问题和研究方向[6].
该理论应用主要集中在战略和风险投资领域和房地产领域,在保险领域,2006年孙建胜将金融框架下的期权博弈理论运用到保险领域,但也停留在定性研究的阶段[7].整体来看期权博弈模型的运用主要是在实物期权方面,在保险领域中的运用还比较少,近些年出现了运用期权博弈模型来研究原保险定价问题的一些模型研究,而在再保险定价方面的研究还非常少[8].
三、期权动态博弈定价模型原理介绍
(一)期权特性在再保险中的运用
再保险同原保险的运作原理是一致的,都是由投保人向保险人支付保费,投保人通过保费的支付从而获得了在保险事故发生时向保险人索赔的权利.在这种定义下,其实保险赋予了投保人一项或有索求权,这种权利可以看作是我们熟悉的期权,其中投保人支付的保费就可以等同为期权费,如果保险事故在保险期限内发生,投保人就可以在合同到期前行使索赔权,并且在有免赔额的情况下,相当于期权中的美式期权提前行权的模式.因此,本文运用期权的定价技术来考虑再保险的定价问题.
本文重点分析一层超额损失再保险的定价模型,是指在定价决策中只涉及一次分保过程,过程中也只包含一位原保险人和一位再保险人.设S为原保险合同的赔付额,D为再保险分出人的自留额,且我们的分析是在原保险人拥有足够大的同类保单的基础上.如果原保险赔付额S不大于再保险合同的免赔额D,则再保险人没有支付义务；如果S大于D,则再保险人需要承担S超过D的部分赔付额.故原保险人的保单到期价值可描述为
(二)完全信息动态博弈理论在再保险中的运用
传统的保险定价只是一种非策略性的理性人选择结果,合同中的参与方是在不知晓对方的情况下,完全根据自身的最优化理论孤立地做出决策.其实这种决策方式并不能够完全适用于保险的环境中,尤其是再保险合同中,因为再保险中的合同双方均是具有专业知识的保险机构,且常见的再保险合同并不是格式化的,而是经过合同双方的反复博弈得出的一个双方认同的费率、自留额和保额等.因此,本文分析中运用博弈论的理论框架,极大地还原合同双方在签订合同时的决策考虑. 1.完全信息动态博弈理论框架在再保险中的运用
博弈论根据博弈双方在决策时是否能够相互影响从而决定出一个有约束力的协议分为“合作博弈”与“非合作博弈”,合作博弈更注重博弈双方的合作理性,非合作博弈则更强调决策个体的理性.其中,非合作博弈根据博弈方的决策顺序分为静态博弈和动态博弈.静态博弈指博弈双方是同时进行决策的,每个个体在进行决策时不知道对方的决策,而动态博弈则区分先后顺序,且后序决策者能够充分的了解前序决策者的行为.同时,可针对信息的分布情况进行分类,如果博弈双方对彼此的决策信息完全知悉,则为完全信息博弈,那么不完全知悉就为不完全信息博弈.结合以上两个维度的区别,可以将博弈论定义为“完全信息静态博弈”、“不完全信息静态博弈”、“完全信息动态博弈”、“不完全信息动态博弈”四种形式,对应的均衡状态分别是“纳什均衡”、“贝叶斯纳什均衡”、“子博弈精练纳什均衡”、“精练贝叶斯均衡”[11].本文结合再保险合同中期权的特性,将采用完全信息动态博弈理论来进行后续分析.
博弈论中的基本要素包括“局中人”对应在再保险中相当于分出人和分入人,“行动”则是原保险人的分出行为,“信息”是分出人和分入人对对方的信息掌握情况,“策略”是包括分出人的自留保费、分入人的费率厘定等再保险计划,“支付”则是分出人与分入人个体的支付函数,由上面介绍的期权定价公式来代替.博弈当然遵循完全信息公开并且博弈双方有先后顺序的进行决策,最终结果是博弈结束即再保险合同合意时,博弈双方形成的能够使所有的局中人达到最优的均衡策略.
2.完全信息动态博弈理论的求解方法在再保险中的运用
下面通过举例来详细说明,gamble A拥有两个局中人分别为Player（1）和Player（2）,他们对收益的结果有相同的判断,且各自面对两种决策方式,前者是决策A和决策B,后者是决策C和决策D,收益组合（X,Y）表示Player（1）和Player（2）各自博弈收益.
（2）的最优决策的基础上确定的,这便是上述的决策树描述的倒退归纳法[12].我们将这种方法运用到再保险定价过程中,则是再保险分入人进行最优决策时能够了解到再保险分出人的最优策略,即知道分出人的保险期权定价公式和最优解,使得分入人可以在观察到的结果基础上制定最优的免赔额.
四、期权动态博弈定价模型基本框架构建
(一)期权动态博弈定价模型基本框架内要素定义
期权动态博弈定价模型,是把BS期权定价模型和动态博弈理论结合起来,由于BS模型的搭建是建立在无套利的前提下的,所以可以通过求解纳什均衡,得到一层超额损失再保险的理论价格.这个方式的实质是把局中人的支付函数用分出人和分入人的或有索求权用期权定价的技术加以确定,在双方先后决策的情形下,运用动态博弈的方法进行求解.这种方式的优点在于,在决策过程中涉及再保险双方的动态决策分析时,合同双方的支付不固定,它是一个由诸多因素决定的内生变量,此时博弈论中设定的期望效用模型无法正确测量分保的风险,然而前面介绍的BS期权定价模型则能够有效的为风险定价,所以两者的结合便能够有效的分析再保险决策中双方的博弈过程.
在框架搭建之前,需要先对博弈中的基本概念进行了解,其中包括局中人、行动、信息、策略、收益、均衡和结果等.其中局中人、策略和收益是最基本要素,局中人、行动和结果被统称为博弈规则.
那么根据上述博弈中的要素定义,再保险期权动态博弈过程中的要素可以描述为,第一阶段是再保险人决策过程,第二阶段是原保险人决策过程,再保险人在第一阶段制定出一个再保险合同的“免赔额”,其实是原保险人的自留额（D）,原保险人在观察到再保险人的D后,向再保险人购买一份自留额为D*的再保险合约,相当于购买了一份美式看涨期权,直到期权的价值最大化时选择执行期权[13].则再保险人通过签订再保合同的最终收益可以描述为下式：
原保险公司的效用函数设定方面,由于保险公司具有有效的风险分散机制,U（X）等于a+bX,由于再保险公司被认为是金融体系内风险的最后一道保障,且保险公司就是为风险定价的机构,它拥有数量巨大的风险单位,故一般的分析设定保险公司对风险的态度为风险中性[14].
对于原保险的损失分布函数的设定,本文中选取韦伯分布函数[15]（关于为何选择韦伯分布请见附录）F（X）等于1-e它由Waloddi Weibull在1937创造性提出,是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一.韦伯分析的优点在于它能提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测,对出现的问题尽早地制订解决方案,并且为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时,仍易于理解.韦伯分析一般用于失效数据的分析,包括研制、生产和服务、质量控制和设计缺陷等,其中还包括对自然灾害（闪电袭击,暴风雪,强风,暴雪等）的损失分布分析.由于再保险的承保标的所暴露的风险主要是以上所描述的自然灾害,故本文中运用韦伯分布来估计原保险标的的损失分布.
(二)期权动态博弈定价模型基本框架的构建
通过上述分析,我们知道在再保险合同的签订过程中,合同双方原保险人和再保险人如何制定最优决策是相互影响的,因此用一个两阶段的动态博弈来描述这一决策过程.在第一阶段,再保险人制定自留额D；在第二阶段,原保险人进行是否行权决策.决策问题中支付函数用BS期权定价模型确定,因此可得到符合实际的一层超赔损失再保险的正确定价.可用以下三个步骤来描述[16]：首先,定义博弈双方即局中人的博弈要素,包括行动顺序和支付函数；其次,运用BS期权定价模型确定局中人的未来不确定支付；最后,运用倒推归纳法从第二阶段开始求解均衡结果.
通过这样的分析框架搭建,把原本复杂的动态分析过程进行了简化求解,既拥有了期权定价包含货币的时间价值和风险的价格优势,又结合了动态博弈理论的策略化的分析过程,更好的更准确的还原了再保险合同签订时合同双方的决策考虑[17].并且将这种复杂动态金融条件下的决策简化到只需要寻找再保险人的期望效用对原保险人自留额一阶导数等于零的简单计算. 五、期权动态博弈框架下一层超赔损失再保险无套利求解
求解完全信息下的动态博弈的方法即倒推归纳法,首先确定第二阶段中原保险人在观察到自留额D后的最大化策略.我们知道一般情况下的再保险合同只有在签订和到期时才有流动,这相当于是合同双方签订了不分红的美式看涨期权,那么在原保险人的立场上,提前行权没有意义,因为美式看涨期权和欧式看涨期权在无分红时的期权最小价值相等,均可以表示为：
通过对上面的计算可以得D等于D*,这个D*就是Player（1）即再保险人在分析Player（2）原保险人能够达到最优的基础上的最优自留额,博弈过程即再保险人在博弈的第一阶段确定D*,然后在第二阶段,原保险人在此基础上选择能够自己效用最大化的时机行权,双方都在合同中得到了相对最大化的效用.那么最终得到的博弈均衡解为（D*,P0（D*））,其中,P0（D*）则是我们基于无套利定价原理分析得到的一层超额损失再保险的公平定价.由于在求解过程中既运用了欧式看涨期权的优势,将时间价值和风险价格纳入分析,又结合了动态博弈论的策略定价方法,在无套利的设定下得到了再保险的公平价格.
六、关于期权动态博弈定价模型的一些结论
(一)期权动态博弈定价模型求解过程中的函数设定问题
在求解D*的过程中需要定义原保险人和再保险人的效用函数U（）和原保险赔付额X的分布函数F（X）,在本文的分析中设定原保险人和再保险人是风险中性者,其效用函数被设定为线性的并且采用期望效用的方法来求解.但其实长久以来在学界一直就存在很多期望效用理论的悖论,比如Allias Paradox等,并且随着RDEU（等级依赖期望效用理论）等理论出现都在
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不断揭示者期望效用在分析问题时的弊端,但在一般性的分析中,运用是可以满足分析需要的,但我们可以在分析中试图变换效用模型的使用,有可能会得到更可靠的分析结果.原保险赔付额X的分布函数F（X）的设定在本文中是采用韦伯分布来定义的,虽然韦伯分布广泛的用于自然灾害的损失定价中,但是关于损失分布函数的确定还没有一个非常普适的结论,包括最常见的损失均匀分布的设定也只能在诸多约束条件下才能够成立.并且由于损失分布在不同的合同责任项下有着很大的区别,仅仅是财产险部分其分类就有不止几十种的风险属性所对应的风险分布,还由于有地区、环境等诸多影响因素的存在,损失分布函数并不是十分容易确定,在后续的研究中可以尝试其他损失分布的情况.
(二)期权动态博弈模型的推广运用
在本文中运用构造的期权动态博弈模型来分析一层超额损失再保险的定价问题,当然我们可以基于模型中的基本理论将模型推广到多层的超赔再保险定价问题中,其实质就是将两阶段的博弈过程扩展到三阶段、四阶段等,相应的局中人也从两位而不断扩展.并且我们还可以将模型求解过程中得到的加以运用,用来分析最优分出额的问题,因为原保险人的自留额决策关系到双方的经营效益,是个非常重要的效益中间指标.同时该模型不仅可以分析再保险的情形,也适用于原保险合同中,可用来分析投保人和保险人的最优决策.
（特约编辑 苗启虎）